习题课 综合法与分析法

习题课综合法与分析法

明目标、知重点加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．

1．对综合法的理解

综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．

综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论)

2．对分析法的认识

分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论成立”．

分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇐…⇐P n－2⇐P n－1⇐P n(结论)

分析法属逻辑方法范畴，它的严谨性体现在分析过程步步可逆．

题型一选择恰当的方法证明不等式

例 1 设a，b，c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：3S≤I2<4S. 证明I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca

＝a2＋b2＋c2＋2S.

欲证3S≤I2<4S，

即证ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.

先证明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2，

只需证2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，

即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，显然成立；

再证明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca，

只需证a2－ab－ca＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0，

即a (a －b －c )＋b (b －a －c )＋c (c －b －a )<0， 只需证a

<4S .

反思与感悟 本题要证明的结论要先进行转化，可以使用分析法．对于连续不等式的证明，可以分段来证，使证明过程层次清晰．证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个： (1)a 2

≥0(a ∈R )．

(2)(a －b )2

≥0(a 、b ∈R )，其变形有a 2

＋b 2

≥2ab ，(a ＋b

2

)2≥ab ，a 2＋b 2

≥

a ＋b

2

2

.

(3)若a ，b ∈(0，＋∞)，则

a ＋b

2

≥ab ，特别地b a ＋a

b

≥2.

(4)a 2

＋b 2

＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．

跟踪训练1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1

b

≥4.

证明 方法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，

∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1

ab ≥4.

方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，

1a ＋1b ≥21ab

>0，

∴(a ＋b )(1a ＋1

b

)≥4.

又a ＋b ＝1，∴1a ＋1

b

≥4.

方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a

b

＋1≥2＋2

b a ·a

b

＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”． 题型二 选择恰当的方法证明等式

例2 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b

＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c

. 证明 要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c

b ＋c

＝3， 即证c a ＋b ＋a b ＋c ＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc

＝1，

而由题意知A ＋C ＝2B ， ∴B ＝π3

，∴b 2＝a 2＋c 2

－ac ，

∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc

＝1， ∴原等式成立，即

1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c

. 反思与感悟 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论

P ；若由P 可推出Q ，即可得证．

跟踪训练2 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y

＝2. 证明 由已知条件得

b 2＝a

c ，①

2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .② 要证a x ＋c y

＝2， 只需证ay ＋cx ＝2xy ， 只需证2ay ＋2cx ＝4xy .

由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2

＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证． 题型三 立体几何中位置关系的证明

例3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝

AB ＝BC ，E 是PC 的中点．

(1)证明：CD ⊥AE ； (2)证明：PD ⊥平面ABE . 证明 (1)在四棱锥P －ABCD 中， ∵PA ⊥底面ABCD ，CD 底面ABCD ，