任意角和弧度制ppt课件
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y
o
x
12
如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是 第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就 认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴 线角.
那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°， －450°分别是第几象限的角？
y
y
y
y
210°
x
x
x
x
o
－50° o 405°
o
o
－200°
y －450°
22
4.终边在坐标轴上角的表示
思考1：终边在x轴非正半轴、非负半轴上的角分别如 何表示？
x o
13
Hale Waihona Puke 思考2 ：锐角是第几象限的角？第一象限的角 是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？ 思考3 ：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
象限角只能反映角的终边所在象限(位 置)，不能反映角的大小.
14
思考4：在直角坐标系中，135°角的 终边在什么位置？终边在该位置的角 一定是135°吗？
y
释一下这两个式子的几何意义吗？
10
练习1： 钟表经过4小时，时针与分针各
转
(填度).
－120°，-1440°.
2：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25 小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能 将时间校准？
－120°，450°.
11
知识探究（二）：象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直 角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合, 角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任 意角，角的终边可能落在哪些位置？
18
例1 在0°～360°范围内，找出与－950°角终边 相同的角，并判定它是第几象限角.
130°，第二象限角.
19
例1 判别下列各角是第几象限的角。
(1)4050 (2)4880 (3)8400 (4)-1200
解：(1) 4050=3600+450 而450是第一象限角，所以4050是第一象限角
(1)9000 (2)-500 (3)4250 (4)-6700
解：(1) 9000=2×3600+1800
所以9000的角与1800角终边相同 (2) -500=-3600+3100
所以-500的角与3100角终边相同 (3) 4250=3600+650
所以4250的角与650角终边相同 (4) -6700=-2×3600+500
你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？ B2
γ
α
O
A
画图表示一个大小一定的角: (1)先画一条射线作为角的始边， B1
β
(2)再由角的正负确定角的旋转方向，
(3)再由角的绝对值大小确定角的旋转量，
(4)画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.
9
思考4：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50°＋80°=130°， 50°－80°=－30°，你能解
(2) 4880=3600+1280 而1280是第二象限角，所以4880是第一象限角
(3) 8400=2×3600+1200 而1200是第二象限角，所以8400是第二象限角
(4) -1200=-3600+2400 而2400是第三象限角，所以-1200是第三象限角 20
例2 在0°～360°内找出与下列各角终边相同 的角
所以-6700的角与500角终边相同
21
思考3：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、 负半轴上的角分别如何表示？
x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ； x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ； y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z .
x o
15
探究三：终边相同的角
思考1：－32°，328°，－392°是第几象限的 角？这些角有什么内在联系？
y
3280 320 3600
328° o
－392° x
3920 320 3600
－32°
16
思考2：与－32°角终边相同的角有多少个？这 些角与－32°角在数量上相差多少？
5
6
知识探究（一）：角的概念的推广
一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方 向旋转，也可以按顺时针方向旋转. 思考1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转 60度所形成的角，与按顺时针方向旋转60度所形成的 角是否相等？
在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相 反方向旋转的.
7
思考2：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以 作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还 形成一个角吗？
任意角和弧度制
1
回顾： 角的定义
角是由平面内一条射线绕其端点从一个位
置旋转到另一个位置所组成的图形. 角是平面几何中的一个基本图形，角是可
以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范
围如何？
问题：
B 00 ~ 3600 始边
在实际问 终边 题中还会
遇到其他
α
O
A
角．
顶点
2
3
角的形成结果
1.体操是力与美的结合，也充满了角的概 念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举 行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏 跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前 空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体 180度、 转体900度就是一个角的概念.
规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针 方向旋转形成的角叫做负角． 如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一 个零角.
度量一个角的大小，既要考虑旋转 方向，又要考虑旋转量，通过上述 规定，角的范围就扩展到任意大小.
8
思考3：对于 210 0 , 150 0 , 660 0
思考3：所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角 在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
320 k 360 0, k Z
17
3.终边相同的角
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所 构成的集合S可以表示为：
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与α终边相同的角，都可以 表示成角α与整数个周角的和.
4
2. 在实际问题中还会遇到其他角．
① 体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听 到“转体10800”、“转体12600”这样的解说． ②钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等， 它们按照不同方向旋转所成的角
不全是0o～360o范围内的角.因此，仅有0°～360° 范围内的角是不够的. 我们必须将角的概念进行推广.
o
x
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如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是 第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就 认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴 线角.
那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°， －450°分别是第几象限的角？
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210°
x
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－50° o 405°
o
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－200°
y －450°
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4.终边在坐标轴上角的表示
思考1：终边在x轴非正半轴、非负半轴上的角分别如 何表示？
x o
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Hale Waihona Puke 思考2 ：锐角是第几象限的角？第一象限的角 是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？ 思考3 ：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
象限角只能反映角的终边所在象限(位 置)，不能反映角的大小.
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思考4：在直角坐标系中，135°角的 终边在什么位置？终边在该位置的角 一定是135°吗？
y
释一下这两个式子的几何意义吗？
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练习1： 钟表经过4小时，时针与分针各
转
(填度).
－120°，-1440°.
2：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25 小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能 将时间校准？
－120°，450°.
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知识探究（二）：象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直 角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合, 角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任 意角，角的终边可能落在哪些位置？
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例1 在0°～360°范围内，找出与－950°角终边 相同的角，并判定它是第几象限角.
130°，第二象限角.
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例1 判别下列各角是第几象限的角。
(1)4050 (2)4880 (3)8400 (4)-1200
解：(1) 4050=3600+450 而450是第一象限角，所以4050是第一象限角
(1)9000 (2)-500 (3)4250 (4)-6700
解：(1) 9000=2×3600+1800
所以9000的角与1800角终边相同 (2) -500=-3600+3100
所以-500的角与3100角终边相同 (3) 4250=3600+650
所以4250的角与650角终边相同 (4) -6700=-2×3600+500
你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？ B2
γ
α
O
A
画图表示一个大小一定的角: (1)先画一条射线作为角的始边， B1
β
(2)再由角的正负确定角的旋转方向，
(3)再由角的绝对值大小确定角的旋转量，
(4)画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.
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思考4：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50°＋80°=130°， 50°－80°=－30°，你能解
(2) 4880=3600+1280 而1280是第二象限角，所以4880是第一象限角
(3) 8400=2×3600+1200 而1200是第二象限角，所以8400是第二象限角
(4) -1200=-3600+2400 而2400是第三象限角，所以-1200是第三象限角 20
例2 在0°～360°内找出与下列各角终边相同 的角
所以-6700的角与500角终边相同
21
思考3：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、 负半轴上的角分别如何表示？
x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ； x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ； y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z .
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探究三：终边相同的角
思考1：－32°，328°，－392°是第几象限的 角？这些角有什么内在联系？
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3280 320 3600
328° o
－392° x
3920 320 3600
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思考2：与－32°角终边相同的角有多少个？这 些角与－32°角在数量上相差多少？
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知识探究（一）：角的概念的推广
一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方 向旋转，也可以按顺时针方向旋转. 思考1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转 60度所形成的角，与按顺时针方向旋转60度所形成的 角是否相等？
在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相 反方向旋转的.
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思考2：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以 作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还 形成一个角吗？
任意角和弧度制
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回顾： 角的定义
角是由平面内一条射线绕其端点从一个位
置旋转到另一个位置所组成的图形. 角是平面几何中的一个基本图形，角是可
以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范
围如何？
问题：
B 00 ~ 3600 始边
在实际问 终边 题中还会
遇到其他
α
O
A
角．
顶点
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角的形成结果
1.体操是力与美的结合，也充满了角的概 念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举 行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏 跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前 空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体 180度、 转体900度就是一个角的概念.
规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针 方向旋转形成的角叫做负角． 如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一 个零角.
度量一个角的大小，既要考虑旋转 方向，又要考虑旋转量，通过上述 规定，角的范围就扩展到任意大小.
8
思考3：对于 210 0 , 150 0 , 660 0
思考3：所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角 在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
320 k 360 0, k Z
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3.终边相同的角
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所 构成的集合S可以表示为：
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与α终边相同的角，都可以 表示成角α与整数个周角的和.
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2. 在实际问题中还会遇到其他角．
① 体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听 到“转体10800”、“转体12600”这样的解说． ②钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等， 它们按照不同方向旋转所成的角
不全是0o～360o范围内的角.因此，仅有0°～360° 范围内的角是不够的. 我们必须将角的概念进行推广.