高中数学论文：双曲线第一定义的应用

双曲线第一定义的应用

双曲线第一定义，是双曲线的重要概念，对它的准确理解与正确运用，是学好双曲线 的关键，本文举例说明双曲线第一定义的应用。

1、焦半径

例1、设21,F F 是双曲线1201622=-y x 的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离等于9，求点P 到焦点2F 的距离。

分析：已知双曲线上的点到一个焦点的距离，求该点到另一个焦点的距离是双曲线第一定义的直接利用形式。

解析：由8||||||21=-PF PF 及9||1=PF ，得 1||2=PF 或17。

由82=a ，6362=⇒=c c 知右支的顶点到1F 的距离为10，而已知9||1=PF ，说明点P 在左支上，此时，10||2≥PF ，所以，点P 到焦点2F 的距离为17。 点评：此类问题可以是一解，也可以是两解，如：当10||1≥PF 时，有两解；当10||21<≤PF 时，有一解，因此，对运算结果必须做合理性分析。

2、焦点三角形

例2、如图，双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 其焦点为21,F F ，过1F 作直线交双曲线的左支于B A ,

两点，且m AB =||，则2ABF ∆的周长为 。

分析：本题中12,AF AF ，12,BF BF 都是焦半径，而2ABF ∆的周长恰好是这四条焦半径之和，应用第一定义便可得。

解析：由a BF AF BF AF a BF BF a AF AF 4|)||(|||||2||||2||||11221212=+-+⇒⎩

⎨⎧=-=-； 由m AB BF AF ==+||||||11，∴m a BF AF +=+4||||22；

故2ABF ∆的周长为m a AB BF AF 24||||||22+=++。

点评：本题结合定义，求出||||22BF AF +，再求周长，简便易行；假如本题未给图形及条件“过1F 作直线交双曲线的左支于B A ,两点”中“左支”两字，情况又会怎样呢？

例4、已知双曲线)(1422

2N b b

y x ∈=-的左、右两焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上一点，若2

2121||||||F F PF PF =⋅，且8||||5221≤<

分析：欲求面积，首先要确定b 的值，由第一定义及22121||||||F F PF PF =⋅可以构成方程组，通过方程组求得1||PF 及2||PF 的值。 解析：由2

24b c +=，又⎩⎨⎧⇒=-=⋅4||||||)2(||||21221PF PF c PF PF ⎩⎨⎧⇒=-+=⋅4||||||)4(4||||21221PF PF b PF PF ⎪⎩⎪⎨⎧⇒=-+=+4

||||||54||||212

21PF PF b PF PF 252||22-+=b PF 或252||22++=b PF ， 由于||||221PF F F <，得252||22++=b PF ，又8||2≤PF

，即28≤，从而得42

≤b ，因为N b ∈且0≠b ，得1=b 或2；

若1=b ，则5422=+=b c ，此时5522||21<==c F F ，不合题意；

若2=b ，则8422=+=b c ，此时5242||21>==c F F ，符合题意； 那么212121212(||||)2||||3cos 2||||4

PF PF PF PF F PF PF PF --⋅∠==⋅

，从而12sin F PF ∠=故12PF F ∆

的面积为121211||||sin 222

S PF PF F PF =⋅∠=⨯= 点评：本题考查的是双曲线的定义及常规的运算能力；运算过程既要用要方程思想又要注重分类讨论思想，体现了重思维、轻运算量这一大纲要求。

例5、设12,F F 是双曲线22

1445

x y -=左右两个焦点，P 是双曲线左支上的点，已知1212||||||PF PF F F 、、成等差数列，且公差大于0，则12F PF ∠=_______________.，点P 的

横坐标为_________.

提示：由 1122||||2||PF F F PF +=，21||||4PF PF -=，得 12||6,||10PF PF ==，又

214c =，由余弦定理可得121cos 2

F PF ∠=-，012120F PF ∴∠=。由1||()6,PF ex a =--=即7(2)62

x -+=，得 167x =-。 3、类比与联想

例6、解方程2747422=+--++x x x x

。联想两点间的距离公式，可设32

=y ，

，问题即可解决。 解析：原方程可变为23)2(3)2(22=+--++x x ，令32=y ， 则方程以变为2)2()2(2222=+--++y x y x ，显然，点),(y x 在以)0,2(-，)0,2(为焦点，实轴长为2的双曲线上，易得其方程为132

2

=-y x 。 由⎪⎩

⎪⎨⎧==-31322

2y y x ，得2±=x 。 点评：本题假设32=y ，使问题很巧妙的转化为几何问题，再结合双曲线的第一定义使问题获解，这种方法体现了类比、联想思想。

双曲线的第一定义这一重要概念应用广泛，应引起足够的重视。椭圆、抛物线的定义也是如此，可加以类比推广之。