第二章几何元素间的相对位置及综合问题解题方法

➢第2章续 几何元素间的相对位置 及综合问题解题方法
➢1 平行问题 ➢2 相交问题 ➢3 垂直问题 ➢4 综合问题分析及解法
➢1 平行问题
• 直线与平面平行 • 两平面平行
‹#›
[例1] 试判断直线AB是否平行于定平面
g f
f g
结论：直线AB不平行于定平面
‹#›
‹#›
[例4] 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面
n
V C
A
k a
e
c b
d
E
X
O
B
D
a
kd
ec
b
n
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属
于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直
于属于该平面的正平线的正面投影。
n
V
f
A
C
E
c
a
k b
B Xd
D
f
a d
c
O k
b
n
定理2：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线 （逆） 的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则
A
P
B
几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所 有平面都垂直于该平面。
A
Ⅰ Ⅱ
B
两平面垂直
A
Ⅰ
B
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一 点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
例9平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面
2.2 一般位置平面与特殊位置 平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个 共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投 影有积聚性，交线可直接求出。
1.求交线
2.判断平面的可见性
1. 求交线
M
P
B
K
m C
c PH
F N k
fb n
AL
a l
b
m k
c
f
l
a n
m kb a
f
l
c
n
2. 判断平面的可见性
A
E
K
ⅠE
ⅡF
C
B F
过EF作铅垂面P
直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。
f ( 2 ) 1
4
利
k
用
重
3
影
点
e
判
别
2
可 见
性
k
（(3）)
4
1
e
示意图
2.4 两一般位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求 两个共有点的问题, 因而可利用求一般 位置线面交点的方法找出交线上的两个 点，将其连线即为两平面的交线。
a
k
m
c
n a
k b
m
c
由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。
2. 判断直线的可见性
b n
a
k
m c
n a
k b
m
c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。
‹#›
‹#›
例2 求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别
其可见性。
k' 1' (2')
2 k1
•两一般位置平面相交求交线
•判别可见性
例4 求两平面的交线 PV n
2
k
1
e
m 2
m
e k
1
n
两一般位置平
面相交，求交
l
QV
线步骤：
1．用求直线 与平面交点的 方法，作出两 平面的两个共 有点K、E。
2．连接两个
l
共有点，画出
交线KE。
示意图
两一般位置平面相交求交线的方法 示意图
B M
利用求一般位置 线面交点的方法找出 交线上的两个点，将 其连线即为两平面的 交线。
K A L
F N
C源自文库
两平面相交，判别可见性
3
1 (2 )
利
用
重
4
影
点
判
2
别
可
3 (4 )
见 性
1
2.5 综合性问题解法
例5 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与
直线EF相交 。
综合性问题解法
➢分析
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H； 连接KH，KH即为所求。
K F
H
f
b
a
a
b f
直线与特殊位置平面平行
CE
A H
D
B
F
a(b) c
G e(f)
d
h(g)
a'
b' X
a(b)
c' e'
h'
d'
f'
g'
O c e(f)
d h(g)
当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直 线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面 必定平行。
⒉ 两平面平行
2. 判断平面的可见性
‹#›
‹#›
‹#›
2.3 直线与一般位置平面相交
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图 以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图 判别可见性 示意图
以正垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点
QV
1
k
步骤：
1．过EF作正 垂平面Q。
2
2．求Q平面与 ΔABC的交线
ⅠⅡ。
b
h(g)
c' e'
h'
a' X
a
c
b'
f'
g'
O e(f)
b h(g)
② 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有 积聚性的那组投影必相互平行。
‹#›
‹#›
[例2] 试判断两平面是否平行
n m
s r
n m
s
r
结论：两平面平行
[例3] 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过 点K作一平面平行于已知平面 。
几何条件： 若一个平面内的相交二直线与另一个
平面内的相交二直线对应平行，则此两平 面平行。这是两平面平行的作图依据。
两平面平行的作图问题有：
判别两已知平面是否相互平行； 过一点作一平面与已知平面平行； 已知两平面平行，完成其中一平面的 所缺投影。
‹#›
两特殊位置平面平行
CE
B
H
A
F
a c
G e(f)
直线必垂直于该平面。
例6 平面由 BDF给定，试过定点M作平面的垂线。
n
f
c
a
m b
d
a d
f
m
c
b n
例7 试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
PV
SV
h
k
h
k
k
k
h
k
h QH
hk
例8 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN 是否垂直于定平面。
a
c
m
e
f
b
d
X
n
O
b
a
m
e
d
c
n
f
➢3.2 两平面垂直
3．求交线
2
ⅠⅡ与EF的交
点K。
k
1
示意图
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
AⅡ F
C
Ⅰ
B E
过EF作正垂面Q
以铅垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点
2 k 1
PH
1
步骤：
1．过EF作铅 垂平面P。
2．求P平面与 ΔABC的交线
ⅠⅡ。
3．求交线
ⅠⅡ与EF的交
点K。
k
2
示意图
以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图
s
f
k
e
m
n
r
r n
e k
m
f
s
[例4] 试判断两平面是否平行。
结论：因为PH平行SH，所以两平面平行
➢2 相交问题
• 直线与平面相交 • 两平面相交
‹#›
‹#›
2.1 特殊位置线面相交
直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交
1. 直线与特殊位置平面相交
b n
E
➢作图
PV
1 m
2
n
h
h n2
1．过点K作平面 KMN// ABC平面。
2．求直线EF与平面 KMN的交点H 。
3．连接KH，KH即 为所求。
m1
➢3 垂直问题
• 直线与平面垂直 • 两平面互相垂直
➢3.1 直线与平面垂直
V C
A E B
D
几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面 的一切直线。