多元函数的极值及其求法 ppt课件

与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外， 偏导数不存在的点也可能是极值点。
例如，显然函数 z x2y2 在(0,0)处取得极小. 值 但函数 (0,0在 )处偏导数 不存在。
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3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值 来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值.
先 构 造 函 数 （ 其 中 1 , 2 均 为 常 数 ） F ( x ,y ,z ,t) f( x ,y ,z ,t) 1( x ,y ,z ,t) 2( x ,y ,z ,t)
求解方程组
F x(x, y,z,t) 0,
F
y(x,
y,z,t)
0,
F
z
(
x
,
y,z,t)
0,
Ft(x, y,z,t) 0,
为某一常数，可由
fx(x, y)x(x, y) 0,
fy(x,
y)
y(x,
y)
0,
(x, y) 0.
解出x, y, ，其中x, y就是可能的极值点的坐标.
拉 格 朗 日 乘 数 法 可 推 广 到 自 变 量 多 于 两 个 的 情 况 ：
要 找 函 数 uf(x,y,z,t)在 条 件 (x,y,z,t)0， (x,y,z,t)0下 的 极 值 。
证 不 妨 设 z f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) 处 有 极 大 值 , 则 对 于 ( x 0 , y 0 ) 的 某 邻 域 内 任 意 (x ,y) (x 0 ,y 0) 都 有 f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 ) , 故 当 y y 0 ， x x 0 时 ， 有 f ( x ,y 0 ) f ( x 0 ,y 0 ) ,
Cfy(y 0,0)0. A C B 290. 因此，驻点 (0, 0)不是极值点 . 在(1,1)处, A fx( 1 x ,1 ) 6 0 ,
B fx(1 y,1 ) 3 , Cfy(y 1,1)6. A C B 2 6 6 ( 3 )22 7 0 . 因此，驻点 (1,1)是极小值点 . 极 f ( 1 小 , 1 ) 1 3 1 3 值 3 1 1 1 .
例4 求函数 f(x,y)x3y33xy 的极值。
解 fx(x ,y) 3 x 2 3 y, fy(x,y)3y23x.
求解方程组：
3x2 3y2
3y 3x
0, 0.
x2
y
2
y, x.
得驻点 (0,0),(1,1).
fx(x x ,y)6x , fx(yx,y)3, fy(yx,y)6y.
问题的实质：求 U (x ,y ) lx n ly n在条件 8x1y020下0的极值点．
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉 格 朗 日 乘 数 法
要 找 函 数zf(x,y)在 条 件 (x,y)0下 的 可 能
极 值 点 ,
先构造函数 F(x, y) f (x, y)(x, y)，其中
令 F ( x ,y , z ) x ( y 2 x z 2 y y 2 x z a 2 ) z,
Fx yz (2 y 2z) 0,
则
FFzy
xz (2x 2z) xy (2 y 2x)
0, 0,
2 x y 2 y z 2 x a z2 0 .
令 F ( x ,y , z ) x ( y 2 x z 2 y y 2 x z a 2 ) z,
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点.
注意： 偏导数存在的极值点
驻点
例 如 ， 点 ( 0 , 0 ) 是 函 数 z x 的 驻 点 y ， z x y ,z x ( 0 ,0 ) 0 ; zyx , zy(0 ,0 ) 0 .
但 点 ( 0 ,0 )不 是 极 值 点 .
x y
x y
z z
,
y z
xxzy,
因 x 0 ,y 0 ,z 0 ,由(2), (1)及(3), (2)得
x y
x y
z z
,
y z
xxzy,
于是， x y z. 代入条件，得
2 x x 2 x x 2 x x a 2 0 . 6x2 a2,
解得
x
6 6
a,
y
6 6
a,
z
6 6
在(0,0)处, A fx(0 x ,0 ) 0 , B fx(0 y,0 ) 3 , Cfy(y 0,0)0. A C B 290.
因此，驻点 (0, 0)不是极值点 .
fx(x x ,y)6 x , fx(yx,y)3, fy(yx,y)6y. 在(0,0)处, A fx(0 x ,0 ) 0 , B fx(0 y,0 ) 3 ,
例 5求 z x 2 x y 2 y 1的 最 大 值 和 最 小 值 .
解令
zx(x2(y x 2 2 1 y )2 21 x )(2 xy)0, zy(x2(y x 2 2 1 y )2 21 y)(2 xy)0,
得 驻 点 (1,1)和 (1,1),
22
22
因 为xl i m x2x y2y10
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定 理 2（ 充 分 条 件 ） 设 函 数 zf(x,y)在 点 (x0,y0)的 某 邻 域 内 连 续 ， 有 一 阶 及 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 又 fx(x0,y0)0, fy(x0,y0)0， 令 fx(xx0,y0)A， fx(yx0,y0)B， fyy(x0,y0)C， 则 (1) ACB2 0时具有极值，且 当A0时有极大值，当A0时有极小值； (2) ACB2 0时没有极值； (3) ACB2 0时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论．
Fx yz (2 y 2z) 0,
则
FFzy
xz (2x 2z) xy (2 y 2x)
0, 0,
2 x y 2 y z 2 x a z2 0 .
yz2(yz)
( 1)
即
xz2(xz) xy2(x y)
( 2) ( 3)
2xy2yz2xza2 0 (4)
因 x 0 ,y 0 ,z 0 ,由(2), (1)及(3), (2)得
求 函 数 z f ( x , y ) 极 值 的 一 般 步 骤 ： 第 一 步 解 方 程 组 fx(x,y)0, fy(x,y)0
求 出 所 有 驻 点 .
第 二 步 对 于 每 一 个 驻 点 ( x 0 , y 0 ) ， 求 出 二 阶 偏 导 数 的 值 A 、 B 、 C .
第 三 步 定 出 A B 2 的 符 C 号 ， 再 判 定 是 否 是 极 值 .
y
即边界上的值为零.
因 为xl i m x2x y2y10
y
即边界上的值为零.
z( 1, 1) 1, z(1,1)1,
22 2
22 2
所 以 最 大 值 为 1， 最 小 值 为 1.
2
2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外， 并无其他条件.
三、条件极值拉格朗日乘数法
实例：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买 x 张磁盘， y 盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U(x, y) = lnx+lny ．设每张磁 盘 8 元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果．
(
x
,
y,z,t)
0,
( x , y , z , t ) 0 .
解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.
例6 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.
解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V . 则问题就是条件 2 x y 2 y z 2 x z a 2 0下， 求函数 V x( x y 0 , y z 0 , z 0 )的最大值.
在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数z xy
在(0,0) 处无极值．
(3)
2、多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） 设函数z f (x, y)在点(x0, y0)具有偏导数，且在 点(x0, y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零： fx(x0, y0) 0， fy(x0, y0) 0.
一、多元函数的极值和最值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 三、小结
一、多元函数的极值和最值
1、二元函数极值的定义
设函数z f (x, y)在点(x0, y0)的某邻域内有定义，
对于该邻域内异于(x0, y0)的点(x, y)：
若满足不等式
f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极大值；
将 (5)，(6) 代入 (4)： x3 2x1 3x12
于是，得 x6, y4, z2. 即 ， 得 唯 一 驻 点 (6 ,4 ,2 )， 这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知，最大值一定存在， 所以， 最大值就在这个可能的极值点处取得。 故，最大值 um a6 x342269.12
若满足不等式 f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极小值；
极 大 值 、 极 小 值 统 称 为 极 值 . 使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 .
例1 函数z 3x2 4y2
在(0,0) 处有极小值．
(1)
例２ 函数z x2 y2
(2)
说 明 一 元 函 数 f ( x , y 0 ) 在 x x 0 处 有 极 大 值 , 必 有 f x ( x 0 ,y 0 ) 0 ; 类 似 地 可 证 f y ( x 0 ,y 0 ) 0 .
推广：如果三元函数u f(x, y,z)在点P(x0, y0,z0) 具有偏导数，则它在P(x0, y0,z0)有极值的必 要条件为 fx(x0, y0,z0)0， fy(x0, y0,z0)0， fz(x0, y0,z0)0.
则
F x F y Fz
3x 2x x3
2 3
y
y2z 0 yz 0 2 0
x
yz
12
3x2 y2z ,
2 x 3 yz x3 y2 ,
,
x
y
z
12,
(1) ( 2) ( 3) ( 4)
由 (1)，(2) 得 由 (1)，(3) 得
y32x, z13x,
(5) (6)
a.
这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知，
最大值一定存在，所以， 最大值就在此点处取得。
故，最大值 V m a6 6 x a 6 6 a 6 6 a 3 6 a 6 3 .
例 7将 正 数 1 2 分 成 三 个 正 数 x ,y ,z之 和 使 得 u x 3 y 2 z为 最 大 .
解 令 F ( x ,y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 1 ) , 2