对角矩阵(高等代数课件)

, k 1 ,
, krk 线性无关.
5. 设 为n维线性空间V的一个线性变换，1 , 2 , r
为 全部不同的特征值，则 可对角化
dimVi n,
i 1 r
Vi 为 的特征子空间.
§7.5 对角矩阵
6. 设 为n维线性空间V的一个线性变换，
若 在某组基下的矩阵为对角矩阵
§7.5 对角矩阵
于是
0 E A 0 0
1 0 1 0 0 0 0
0 0 n 1
∴ D的特征值为0（n重）.
又由于对应特征值0的齐次线性方程组 AX 0
的系数矩阵的秩为n－1，从而方程组的基础解系 只含有一个向量，它小于P[ x ]n的维数n（＞1）. 故D不可对角化 .
项式.并证明：D在任何一组基下的矩阵都不可能 是对角矩阵（即D不可对角化）.
x2 解：在 P[ x ]n中取一组基： 1, x , , 2! 则D在这组基下的矩阵为
A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
x n 1 , ( n 1)!
1 0 0 0 1 0 ; 0 0 1
§7.5 对角矩阵
1 0 1 0 1 0 . 1 ,2 ,3 1 , 2 , 3 1 0 1
即基 1 , 2 , 3 到 1 ,2 ,3 的过渡矩阵为
§7.5 对角矩阵
二、可对角化的条件
1. (定理7)设 为 n 维线性空间V的一个线性变换，
则 可对角化 有 n 个线性无关的特征向量. 证：设 在基 1 , 2 ,
n下的矩阵为对角矩阵
1 2 n 则有 i i i , i 1,2, n.
特征值 i 的线性无关的特征向量， i 1,2, 则向量 11 ,
, 1r1 , , k 1 , , krk 线性无关.
, k,
的属于同一特征值 i 的特征向量 证明：首先，
的非零线性组合仍是 的属于特征值 i 的一个特征
向量.
§7.5 对角矩阵
设 a1111
a11 , , a1r1 ,
a1r11r1 , ak 1 ,
ak 1 k 1
akrk krk 0, ④
, akrk P . airi iri , i 1,2, , k.
令 i ai 1 i 1
1 2 由④有，
k 0.
若有某个 i 0, 则 i 是 的属于特征值 i 的 特征向量. 而 1 , 2 ,
§7.5 对角矩阵
, n下的坐标）.
3°若全部基础解系所合向量个数之和等于n ，则
有n个线性无关的特征向量 1 ,2 , ,n , 从而
（或矩阵A）可对角化. 以这些解向量为列，作一个
1 T AT 是对角矩阵. 而且 n阶方阵T，则T可逆，
T就是基 1 , 2 ,
, n 到基 1 ,2 ,
§7.5 对角矩阵

x1 x3 再解齐次线性方程组 1 E A X 0, 得 x 0 2
故其基础解系为： (1,0, 1) 所以， 3 1 3 是 的属于特征值－1的线性无关的特征向量.

1 ,2 ,3 线性无关，故 可对角化，且
在基 1 ,2 ,3 下的矩阵为对角矩阵
如果 的特征多项式在数域 P 中有n个不同特征值， 则 可对角化. 特别地，(推论2) 在复数域C上的线性空间中， 如果线性变换 的特征多项式没有重根，则 可 对角化.
§7.5 对角矩阵
4. (定理9) 设 为线性空间V的一个线性变换，
1 , 2 , k 是 的不同特征值，而 i 1 , i 2 , iri 是属于
1 , 2 , k 的特征向量，则1 , 2 , k 线性无关.
证：对k作数学归纳法. 当 k 1 时， 1 0, 1 线性无关. 命题成立.
§7.5 对角矩阵
假设对于 k 1 来说，结论成立. 现设 1 , 2 ,
k 为
的互不相同的特征值， i 是属于 i 的特征向量，
k 是互不相同的，由定理8，
, k.
必有所有的 i 0, i 1,2,
§7.5 对角矩阵
即 ai 1 i 1 而 i1 ,
ai 1
airi iri 0. airi 0, i 1,2,
, iri 线性无关，所以有 ,k.
故 11 ,
, 1r1 ,
一、可对角化的概念
定义1：设 是 n 维线性空间V的一个线性变换，
如果存在V的一个基，使 在这组基下的矩阵为对 角矩阵，则称线性变换 可对角化.
定义2：矩阵A是数域 P 上的一个 n 级方阵. 如果
1 X X AX 为对角 n P 存在一个 上的 级可逆矩阵 ，使
矩阵，则称矩阵A可对角化.
的一个基础解系:（－2、1、0），（1、0、1）
对于特征值－4，求出齐次方程组
7 2 1 x1 0 2 2 2 x2 0 3 6 3 x 0 3 1 2 的一个基础解系: ( , ,1) 3 3
解: A的特征多项式为
3 2 1 E A 2 2 2 3 6 1
12 16 2 4
3 2
得A的特征值是2、2、-4 .
§7.5 对角矩阵
对于特征值2，求出齐次线性方程组
1 2 1 x1 0 2 4 2 x 2 0 3 6 3 x 0 3
1 0 1 T 0 1 0 , 1 0 1 1 0 0 T 1 AT 0 1 0 . 0 0 1
§7.5 对角矩阵
例2. 问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵T，使
3 2 1 T 1 AT 为以角矩阵. 这里 A 2 2 2 3 6 1
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §5 对角矩阵
§6线性变换的值域与核
§7不变子空间 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 小结与习题
§7.5 对角矩阵
一、可对角化的概念
二、可对角化的条件 三、对角化的一般方法
§7.5 对角矩阵
,n 的过渡矩阵.
§7.5 对角矩阵
例1. 设复数域上线性空间V的线性变换 在某组基
1 , 2 , 3 下的矩阵为
0 0 1 A 0 1 0 1 0 0
问 是否可对角化. 在可对角化的情况下，写出
基变换的过渡矩阵.
§7.5 对角矩阵
解：A的特征多项式为
1 , 2 , n 就是 的n个线性无关的特征向量.
§7.5 对角矩阵
反之，若 有 n 个线性无关的特征向量 1 ,2 ,
,n ,
那么就取1 ,2 ,
是对角矩阵.
,n 为基，则在这组基下 的矩阵
2. (定理8)设 为n维线性空间V的一个线性变换,
如果 1 , 2 , k分别是 的属于互不相同的特征值
即
i i i , i 1,2, , n.
ak k 0, ai P
①
设 a11 a2 2
以 k 乘①式的两端，得
a1k1 a2k 2 a111 a22 2
§7.5 对角矩阵
ak k k 0. ak k k 0.
§7.5 对角矩阵
0 1 2 E A 0 1 0 1 1 1 0
得A的特征值是1、1、－1. 解齐次线性方程组 1 E A X 0, 得 x1 x3 故其基础解系为： (1,0,1),(0,1,0) 所以， 1 1 3 , 2 2 是 的属于特征值1的两个线性无关的特征向量.
§7.5 对角矩阵
所以A可对角化.
令
1 2 1 3 2 T 1 0 0 1 13
则
2 0 0 T 1 AT 0 2 0 0 0 4
§7.5 对角矩阵
练习：在 P[ x ]n ( n 1) 中, 求微分变换D的特征多
②
又对①式两端施行线性变换 ，得 ③
③式减②式得
a1 (1 k )1 a2 (2 k ) 2
ak 1 (k 1 k ) k 1 0
1 , 2 , k 1 线性无关，所以 由归纳假设，
ai (i k ) 0, i 1,2,
设 为维线性空间V的一个线性变换， 1 , 2 ,
为V的一组基， 在这组基下的矩阵为A.
, n
步骤:
1° 求出矩阵A的全部特征值 1 , 2 ,
, k .
2° 对每一个特征值 i ，求出齐次线性方程组
i E A X 0,
i 1.2.
来自百度文库
k
的一个基础解系（此即 的属于 i 的全部线性无关 的特征向量在基 1 , 2 ,
1 2 D
n
则 1） 的特征多项式就是
f ( ) 1 2
n
2）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一
确定的,它们就是 的全部特征根(重根按重数计算).
§7.5 对角矩阵
三、对角化的一般方法
但 1 , 2 ,
, k 1. ak 1 0.
, k 互不相同，所以 a1 a2
将之代入①，得 ak k 0.
k 0,
故 1 , 2 ,
§7.5 对角矩阵
ak 0 , k 线性无关.
3. (推论1) 设 为n 维线性空间V的一个线性变换，