高考数学复习-对数函数

对数函数 A 组

1．(2009年高考卷改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝________.

解析：由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 1

2＝1

2，∴f (x )＝log 12x .答案：log 12

x

2．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a 、b 、c 的大小关系是________．

解析：a ＝log 3π>1，b ＝log 23＝12log 23∈(12，1)，c ＝log 32＝1

2log 32∈(0，

1

2

)，故有a >b >c .答案：a >b >c 3．若函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛]

1,0[,4)

0,1[,41x x x

x

，则f (log 43)＝________.

解析：0

的图象经过点(4,2)，则函数g (x )＝log a 1

x ＋1

的

图象是________．

解析：由已知将点(4,2)代入y ＝a

x －1

，∴2＝a

4－1

，即a ＝21

3>1.

又

1

x ＋1

是单调递减的，故g (x )递减且过(0,0)点，∴④正确．答案：④ 5．(原创题)已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f (1

2010

)＝4，则f (2010)的值为_．

解析：设F (x )＝f (x )－2，即F (x )＝a log 2x ＋b log 3x ，则F (1x )＝a log 21x ＋b log 3

1

x

＝－(a log 2x ＋b log 3x )＝－F (x )，∴F (2010)＝－F (

12010)＝－[f (1

2010

)－2]＝－2， 即f (2010)－2＝－2，故f (2010)＝0.答案：0

6．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1)．(1)求f (log 2x )的最小值及相应x 的值；(2)若f (log 2x )>f (1)且log 2f (x )

解：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ，∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又∵log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝2.∴f (x )＝x 2－x ＋2.

∴f (log 2x )＝(log 2x )2

－log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋74.

∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值7

4

.

(2)由题意知⎩⎨⎧

(log 2x )2

－log 2x ＋2>2，

log 2(x 2

－x ＋2)<2.

∴⎩⎨⎧

log 2x <0或log 2x >1，0

－x ＋2<4.

∴⎩⎨

⎧

02，－1

∴0

B 组

1．(2009年高考卷改编)为了得到函数y ＝lg x ＋310

的图象，只需把函数y ＝lg x

的图象上所有的点________．

解析：∵y ＝lg

x ＋310

＝lg(x ＋3)－1，∴将y ＝lg x 的图象上的点向左平移3

个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)的图象，再将y ＝lg(x ＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)－1的图象．

答案：向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

2．(2010年质检)对于函数f (x )＝lg x 定义域中任意x 1，x 2(x 1≠x 2)有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2

>0；

④f (

x 1＋x 22

)<

f (x 1)＋f (x 2)2

.上述结论中正确结论的序号是________．

解析：由运算律f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg x 1x 2＝f (x 1x 2)，所以②对；因

为f (x )是定义域的增函数，所以③正确；f (

x 1＋x 2

2

)＝lg

x 1＋x 22，

f (x 1)＋f (x 2)2

＝

lg x 1＋lg x 22＝lg x 1x 2，∵x 1＋x 22≥x 1x 2，且x 1≠x 2，∴lg x 1＋x 2

2>lg x 1x 2，所以④错误．

答案：②③

3．(2010年枣庄第一次质检)对任意实数a 、b ，定义运算“*”如下：

a *

b ＝⎩⎨

⎧

a (a ≤

b )b (a >b )

，则函数f (x )＝log 12

(3x －2)*log 2x 的值域为________．

解析：在同一直角坐标系中画出y ＝log 1

2(3x －2)和y ＝log 2x 两个函数的图

象，

由图象可得

f (x )＝⎩⎨⎧

log 2

x (0

log 1

2(3x －2) (x >1)

，值域为(－∞，0]．答案：(－∞，

0]

4．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为________．

解析：由y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，得f (x )＝ln x ，因为y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，故有g (x )＝－ln x ，g (a )＝1⇒ln a ＝－1，所以a ＝1e

. 答案：1

e

5．已知函数f (x )满足f (2

x ＋|x |

)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________．