可积的必要条件

的稠密性，在属于T 的任一小区间i上，
n
n
当取 i 全为有理数时， D(i )xi xi 1
i 1
i 1
n
当取 i 全为无理数时， D(i )xi 0 i 1
所以无论 T 多么小， 只要点集 i 取法不同，
全取有理数或全取无理数，积分和有不同极限，
即 D( x) 在 [0,1] 不可积
三 可积条件
一、可积的必要条件 二、可积的充要条件 三、可积函数类
一、 可积的必要条件
定理9.2 若函数 f 在[a,b]上可积，则 f 在[a,b]
上必定有界。
证：（用反证法）。若 f 在[a , b] 上无界，则对于 [a , b] 的任一分割T，必存在属于T的某个小区间
k ,
f
在
上无界，在
k
把a,b分成n个小区间xi1, xi i 1, 2,L ,n
记 Mi sup f x x xi1, xi
mi inf f x x xi1, xi xi xi xi1
n
n
作和式 S Mixi S mixi
i 1
i 1
分别称为对于这一分法的达布上和及达布下和，
二 可积的的充要条件
要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考 察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和 的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难 的.下面即将出的可积准则只与被积函数本身有 关，而不涉及定积分的值.
1.思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分
和. 用相应于分法T 的“最大”和“最小”的两个“积分 和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分
统称达布和。
任给i xi i 1, 2L , n 显然有
S(T ) f (i )xi S(T )
说明：与积分和相比，达布和只与分割 T 有关， 而与点 i 的取法无关.
分
别用
__
S
(T
)
、
s(T
)
和Baidu Nhomakorabea
T
记
相应于
分法
T
的上（大）和、下（小）和与积分和.
3. Darboux 和的性质: 本段研究 Darboux 和的性
和有极限, 且与分法T 及介点 i 无关的条件 .
__
方案: 定义上和 S (T ) 和下和 s(T ) . 研究它们的性质
和当 T 0 时有相同极限的充要条件 .
2.达布(Darboux 1842～1917 法国数学家) 上和与下和 的定义
设f x 在a,b有界，在a,b插入分点
a x0 x1 L xn1 xn b
i 1
mi xi
a
f (x)dx
其中： Mi sup{ f (x) : xi1 x xi}
mi inf{ f (x) : xi1 x xi}
Riemann可积的第二充要条
件
其中：
Mi sup{ f (x) : xi1 x xi} mi inf{ f (x) : xi1 x xi}
f(x)在[a,b]上Riemann可积
xi-1 xi
注：连续函数、只 有有限个间断点的 有界函数和闭区间 上的单调函数 Riemann可积
， 0, 分划T，使得所有振幅i 的小区间i的总长度不超过
三、可积函数类
1. a,b上的连续函数在a,b上可积. 证明:设f x在a,b上连续，f x在a,b上一致连续，
。
a
对a,b作一分法，使得 T
max i
xi
,
记Mi及mi分别为f x在xi1, xi 的上、下确界。
因为f x单调上升,所以 Mi f xi , mi f xi1 .
f x 在不含有xi' i 1, 2,L , k 的区间xi1, xi 上幅度 皆小于，则f x的幅度不小于的区间至多有2k个，
其长度总和小于，
根据第三充要条件，f x在a,b可积。
3. 单调有界函数必定可积.
证明：设f x在a,b上单调上升，则f b f a.
对任意的
0,取
f
b
f
质, 目的是建立 Darboux 定理.先用分点集定义分法
和精细分法: T T 表示T 是T 的加细 .
Riemann可积的第一充要条件
xi-1 xi
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
b
n
n
b
a
f (x)dx lim ||T ||0
i 1
M ixi
lim ||T ||0
i
k的各个小区间 k
上任意取定i , 并记G | f (i )xi | ik
现对任意大的正数M，由于f 在 k上无界，故存在
k
k，使得：| f
(k ) |
M G xk
n
于是有：| f (i )xi || f (k )xk | | f (i )xi |
i 1
ik
M G xk xk G M
这与 f 在 [a , b] 上可积相矛盾，从而定理得证。
注：任何可积函数一定是有界的，但有 界函数却不一定可积。
1 , x Q
例1 在[0
证明狄理克雷函数 D( ,1]上有界但不可积。
x)
0，x
Qc
证 显然 D( x) 1, x [0,1]
对于[0,1] 的任一分割 T ，由有理数和无理数在实数中
所以对任意的 0， 0,使对于
a, b上任意两点x ', x '',只要 x ' x '' ，就有
f x ' f x ''
ba
把a,b分成部分区间xi1, xi i 1, 2,L , n,
使 T maxxi ，则有
i Mi mi sup
x ', x ''i
f ( x ') f ( x '') ba
所以
S
S
n
i xi
i 1
ba
b a
根据可积第二充要条件，f x在a, b可积.
2. 只有有限个第一类不连续点的函数是可积的，即 分段函数是可积的.
证明：设f x 有k个不连续点：x1' , x2' ,L , xk'，则对于
任意的 0及 0，总存在适当小的 0，使 ，
2k
而对任何分法，当 T maxxi 时，
i Mi mi
f(x)在[ax,i-b1 ]x上i Riemann可积
n
0, 分割T，使得 ixi i 1
Riemann可积的第三充要条件
n
ixi ixi ixi
i 1
i
i
([a,b], f ) xi xi
i
i
([a,b], f ) (b a)
其中([a,b], f )为f 在[a,b]上的振幅