线性代数线性方程组解的结构
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
下页
系数矩阵与增广矩阵
a11 a21 A= a m1
源自文库
a12 a22 a m2
a1n a2n amn
a12 a22 am 2
称为方程组的系数矩阵.
a11 a21 A = ( A b) = am1
a1n b1 a2 n b2 称为方程组的增广矩阵. amn bm
……(1)
a11 a21 其中，A= a m1
a12 a22 a m2
a1n a2n ， X = amn
x1 x2 xn
b1 b2 ，b = o= ， bm
下页
0 0 0
向量方程
含有m个方程n个未知量的线性方程组 a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
矩阵方程 含有m个方程n个未知量的线性方程组 a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm 可用矩阵形式表示为 AX= b, 对应齐次方程组(2)可用矩阵形式表示为 AX=o.
下页
r2-3r1 r3 +r1 ——
r3-2r2 ——
1 -2 4 3 3 -5 14 12 -1 4 1 5 1 -2 0 1 0 2 1 -2 0 1 0 0 4 2 5 4 2 1 3 3 8 3 3 2
x1 -2x2+4x3 = 3 x2+2x3 = 3 2x2+5x3 = 8
x1 -2x2+4x3 = 3 x2+2x3 = 3 x3 = 2
下页
线性方程组的初等变换. 由上述求解过程可看出，对方程组的化简施行了三种运算： • 互换两个方程的位置； • 用一个非零数乘以方程；
• 用某个数乘以某一方程然后加到另一方程上去.
我们称上述三种运算为线性方程组的初等变换. 显然，对方程 组施行初等变换得到的方程组与原方程组同解. 利用初等变换将方程组化为行阶梯形式的方程组，再利用回 代法解出未知量的过程，叫做高斯消元法.
可用向量形式表示为
……(1)
x11 + x22 + x11 + x22 +
+ xnn = b, + xnn = o.
.
对应齐次方程组(2)可用向量形式表示为
a1 j b1 0 a b 0 2j 其中， j = , j = 1, 2,..., n , b = 2 , o = b 0 a m mj
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = 0
下页
……(2)
则称(2)为齐次线性方程组, 或(1) 的导出组.
下页
消元法解方程组过程
3x1-5x2+14x3=12 + 例1．解线性方程组 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5 3x1-5x2+14x3=12 + x1 -2x2+4x3 = 3 r 2 r 3 2 解： + x1-2x2+ 4x3= 3 —— x2+2x3 = 3 - x1+4x2+ x3= 5 x3 = 2 x1 -2x2+ 4x3 = 3 r1r2 于是得到 3x1 -5x2+14x3 =12 —— -x1 +4x2+ x3 = 5 x3=2 r2-3r1 x2 =3-2x3 =-1 x 2 x + 4 x = 3 1 2 3 r3 +r1 —— x2+2x3 = 3 x1=3+2x2-4x3=-7 2x2+5x3 = 8 x1=- 7 x2=- 1 方程组的解为 x3= 2
消元法与矩阵的初等行变换
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组 的增广矩阵施以初等行变换的过程. 行阶梯形矩阵 r3-2r2 —— r2-2r3 r1-4r3 —— r1+2r2 ——
x1 -2x2+4x3 = 3 x2+2x3 = 3 x3 = 2 x1 -2x2 x2 x1 = -5 = -1 x3 = 2 = -7 = -1 x3 = 2
可以看出，对方程组（1）施行的初等变换，与未知量无关，只 是对未知量的系数及常数项进行运算. 这些运算相当于对方程组 系数矩阵的增广矩阵进行了一系列仅限于行的初等 变换.
下页
消元法与矩阵的初等行变换
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组 的增广矩阵施以初等行变换的过程.
例1.
r1r2 ——
3x1-5x2+14x3=12 + + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5 x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
3 -5 14 12 (Ab)= 1 -2 4 3 -1 4 1 5
r1r2 —— r2-3r1 r3 +r1 —— r3-2r2 ——
第 3章
线性方程组
一、线性方程组的同解变换 二、齐次线性方程组解的结构与解法 三、非齐次线性方程组解的结构与解法
下页
3.1
线性方程组的同解变换
代数方程 含有m个方程n个未知量的线性方程组一般形式为 a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 ……(1) a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm 若b=(b1, b2,…, bm)≠o ，则称(1)为非齐次线性方程组； 若b=(b1, b2,…, bm)＝o ，即
系数矩阵与增广矩阵
a11 a21 A= a m1
源自文库
a12 a22 a m2
a1n a2n amn
a12 a22 am 2
称为方程组的系数矩阵.
a11 a21 A = ( A b) = am1
a1n b1 a2 n b2 称为方程组的增广矩阵. amn bm
……(1)
a11 a21 其中，A= a m1
a12 a22 a m2
a1n a2n ， X = amn
x1 x2 xn
b1 b2 ，b = o= ， bm
下页
0 0 0
向量方程
含有m个方程n个未知量的线性方程组 a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
矩阵方程 含有m个方程n个未知量的线性方程组 a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm 可用矩阵形式表示为 AX= b, 对应齐次方程组(2)可用矩阵形式表示为 AX=o.
下页
r2-3r1 r3 +r1 ——
r3-2r2 ——
1 -2 4 3 3 -5 14 12 -1 4 1 5 1 -2 0 1 0 2 1 -2 0 1 0 0 4 2 5 4 2 1 3 3 8 3 3 2
x1 -2x2+4x3 = 3 x2+2x3 = 3 2x2+5x3 = 8
x1 -2x2+4x3 = 3 x2+2x3 = 3 x3 = 2
下页
线性方程组的初等变换. 由上述求解过程可看出，对方程组的化简施行了三种运算： • 互换两个方程的位置； • 用一个非零数乘以方程；
• 用某个数乘以某一方程然后加到另一方程上去.
我们称上述三种运算为线性方程组的初等变换. 显然，对方程 组施行初等变换得到的方程组与原方程组同解. 利用初等变换将方程组化为行阶梯形式的方程组，再利用回 代法解出未知量的过程，叫做高斯消元法.
可用向量形式表示为
……(1)
x11 + x22 + x11 + x22 +
+ xnn = b, + xnn = o.
.
对应齐次方程组(2)可用向量形式表示为
a1 j b1 0 a b 0 2j 其中， j = , j = 1, 2,..., n , b = 2 , o = b 0 a m mj
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = 0
下页
……(2)
则称(2)为齐次线性方程组, 或(1) 的导出组.
下页
消元法解方程组过程
3x1-5x2+14x3=12 + 例1．解线性方程组 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5 3x1-5x2+14x3=12 + x1 -2x2+4x3 = 3 r 2 r 3 2 解： + x1-2x2+ 4x3= 3 —— x2+2x3 = 3 - x1+4x2+ x3= 5 x3 = 2 x1 -2x2+ 4x3 = 3 r1r2 于是得到 3x1 -5x2+14x3 =12 —— -x1 +4x2+ x3 = 5 x3=2 r2-3r1 x2 =3-2x3 =-1 x 2 x + 4 x = 3 1 2 3 r3 +r1 —— x2+2x3 = 3 x1=3+2x2-4x3=-7 2x2+5x3 = 8 x1=- 7 x2=- 1 方程组的解为 x3= 2
消元法与矩阵的初等行变换
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组 的增广矩阵施以初等行变换的过程. 行阶梯形矩阵 r3-2r2 —— r2-2r3 r1-4r3 —— r1+2r2 ——
x1 -2x2+4x3 = 3 x2+2x3 = 3 x3 = 2 x1 -2x2 x2 x1 = -5 = -1 x3 = 2 = -7 = -1 x3 = 2
可以看出，对方程组（1）施行的初等变换，与未知量无关，只 是对未知量的系数及常数项进行运算. 这些运算相当于对方程组 系数矩阵的增广矩阵进行了一系列仅限于行的初等 变换.
下页
消元法与矩阵的初等行变换
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组 的增广矩阵施以初等行变换的过程.
例1.
r1r2 ——
3x1-5x2+14x3=12 + + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5 x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
3 -5 14 12 (Ab)= 1 -2 4 3 -1 4 1 5
r1r2 —— r2-3r1 r3 +r1 —— r3-2r2 ——
第 3章
线性方程组
一、线性方程组的同解变换 二、齐次线性方程组解的结构与解法 三、非齐次线性方程组解的结构与解法
下页
3.1
线性方程组的同解变换
代数方程 含有m个方程n个未知量的线性方程组一般形式为 a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 ……(1) a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm 若b=(b1, b2,…, bm)≠o ，则称(1)为非齐次线性方程组； 若b=(b1, b2,…, bm)＝o ，即