数列的极限ppt 下载

1). xn yn zn(n 1,2,)；
2).
lim
n
xn
lim
n
zn
a.
则
lim
n
yn
存在且等于
a。
例1. 求极限 lim n
1 n2 1
1 n2 2
1 n2
n
；
2. a 0,b 0,证明lim n an bn max{a,b}。 n
4. 保号性
定理4
若
lim
n
xn
a
,且
a 0( 或 a 0)，则
N 0,当 n N 时，有 xn 0(或 xn 0)。
推论：若数列 { xn } 从某项起有 xn 0 (或 xn 0)，且
lim
n
xn
a
,则
a
0(或
a
0).
4. 子列收敛性 定理4 收敛数列的任意子列也收敛，且极限相同。
推论：对于数列 { xn } ,若 x2k1 a(k ) , x2k a(k ), 则 xn a(n ).
x1 , x2 ,, xi , xn ,
xn1 , xn2 ,, xnk ,
xn
1
(1)n 2
子列 1，1，
0，0，
0, 1, 0, 1,
定义3. 设有序列{ xn }，若 M 0，对一切 n 都有： | xn | M 则称 {xn} 是有界序列。
例： 0,1,0,1,
为有界序列。
二. 数列极限的定义
x 0, 1 , 2 ,,1 nn
用 xn 表示 n 阶梯形 面积，则曲边梯形
面积 :
0
y x2
i1 i
1
nn
x
a
xn
n1
i
2
i0 n
1 n
n1 i0
i2
1 n3
1 6
(1
1 )(2 n
1) n
n越大，阶梯越多，近似程度就越高，但不论n多 大，总是近似的，必须考察n趋于无穷的过程。
n
§2 数列的极限
❖ 数列的概念 ❖ 数列极限的定义 ❖ 数列极限的性质
一. 数列的概念
高等数学与初等数学的差别在于： 研究对象：变量与常量； 研究方法：无限观念与有限观念。 1. 极限概念的引入
例1 试求 y x2, x 轴和 x 1 直线所围的曲边 三角形的面积；
Step 1 以直代曲；
Step 2 考察变化趋势。 y
例如 2,4,8,,2n ,;
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
{2n } 1
{2n }
1,1,1,,(1)n1 ,; {(1)n1 }
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
定义2.
在数列 { xn }中，保持原有顺序，从左到右 任取其中无穷项构成新的序列，称为{ xn } 的子序列。记作 { xnk }。
,
xn
1 3
.
例2 求单位半径园的周长。
Step 1： 以直代曲，得到一系越来越逼近于圆 周长的近似值；
Step 2： 考察这一系列值的变化趋势，从而确 定出圆周长的准确值
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
n=3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
*
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1. 不等式 xn a 刻划了 xn 与 a 的无限接近; 2. N 与任意给定的正数 有关.
极限的 N 定义 :
lim
n
xn
a
0, N 0,使 n N 时,恒有 xn a .
几何解释:
有界，几个特殊数列的极限; 。
N
定义：lim n
xn
a
0, N 0,使 n N 时,恒有 xn a .
例1. 例2.
求证 lim 1 0. n n
证明 lim qn 0,其中q 1. n
例3. 证明lim n n 1. n
lim n a 1 (a 1).
n
三. 数列极限的性质
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
n=6
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
n=8
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
n=12
圆周长：
l3
3 2 sin(2
n
1),n 2
0 x x0 表示x x0的过程.
1. 唯一性 定理1. 收敛数列的极限是唯一的。
即
若 lim n
xn
a，又 lim n
xn
b，则a
b。
2. 有界性 定理2. 收敛数列必有界。 注意：1). 有界性是数列收敛的必要条件；
2). 无界数列必定发散
{1 (1)n } 有界但不收敛； 2
{n} 无界，发散。
3. 夹逼性
定理3.
设数列 { xn }，{ yn }，{zn } 满足
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当 n N 时, 所有的点 xn 都落在 (a , a )内,
只有有限个(至多只有 N 个)落在其外.
Sept 23 Fri.
Review
❖ 函数运算：四则运算，反函数，复合函数； ❖ 基本初等函数与初等函数； ❖ 数列：概念，子列，有界； ❖ 极限：极限思想、精确定义、几何意义，子列，
极限概念的定性描述 给定数列 { xn }，当 n 无限增大时，xn 无 限接近 a，则称 a 为n趋于无穷时数列 {xn} 的极限。
limit
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn, 不等式 xn a 都成立,那末就称常数a 是数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛于a ,记为
Hw: p30 3(1)，5.
§3 函数的极限
❖ 函数在有限点处的极限 ❖ 单侧极限
❖ x 时的极限
❖ 函数极限的性质
一 函数极限的定义wk.baidu.com
1. 函数在有限点处的极限
问题:函数 y f ( x)在 x x0的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
3
l4
4 2 sin(2
n
1),n 2
4,
l
ln
2n sin
n
2
n (n 3)
n 越大，正多边形与圆接近的近似程度越高。
.
2. 数列的定义
定义1 遵循某种规律，依一定顺序排列的一串数
x1, x2 ,, xn ,
称为一个数列（或序列），记作 {xn }，第 n
项称为通项。
通项
序列
一般可以
{ xn } 也可看作正整数n 的函数：xn f (n), n N *