工程力学第十章矩阵位移法.
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M 32 0
• 17.1.2 直接刚度法
•
对于连续梁的每一个结点都视为有一个角位移未知
• 数，并规定这些转角均以顺时针方向为正。
• 百度文库7.1.3 转角位移方程
K11 1 K12 2 K13 3 M 1 K21 1 K22 2 K23 3 M 2 K31 1 K32 2 K33 3 M 3
• 据矩阵运算的基本法则，则得：
4i1 4i 2 2i 2 2i2 2 M 2 4i2 3 0
• 解得：
M2 2 4i1 3i2 M 2 3 2(4i1 3i2 )
•
杆2
M 23 4i 2 2i 2 M 32
M2 3i 2 M 2 2i 2 4i1 3i 2 4i1 3i 2 M2 4i 2 0 ( 4 i 3 i ) 2 1 2
• 式中：Kij（i=1,2,3;j=1,2,3）称为结点刚度系数。它表示当 θj=1时，在结点i处并在θi方向上所需加的结点力矩总和。
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• 写成矩阵形式为：
K11 K 21 K31
• 简式为：
• 式中： • •
K12 K22 K32
K13 1 M 1 K23 2 M 2 M K33 3 3
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• 17.1.7 求单元杆端力
• 例7-5：求图7-5所示连续梁 • 的杆端力 • 解： 由题可知 杆1
M 12 4i1 1 1 [ K ] 2i M 21 1 2i1 M 2 0 2i1 M 4i1 3i2 2 4i M 4i1 1 2 4i1 3i 2 4i1 3i2
• 注：以上用连续梁说明直接刚度的方法步骤, • 完全适用于其它类型结构。其中，[K]的组成 • 是直接刚度法的核心部分。
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•
第二节
单元刚度矩阵
• 17.2.1 结构离散化 • 将杆系结构分离有限个单元杆— 离散化。 • 原则：以杆元汇交点、荷载作用点、载面突变点为结点，尽 量使相关结点，编码和差值最小。矩阵位移法讨论结点荷载问题， 非结点荷载需另外处理。
第十章
矩阵位移法
• 矩阵位移法的概念 第一节
• 第二节 单元刚度矩阵
• • • • • •
第三节
结构刚度矩阵 坐标转换矩阵 非结点荷载的处理
第四节
第五节
第六节 矩阵位移法的解题步骤 第七节 结构分析的计算机方法简介
小结
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第一节
矩阵位移法的概念
• 结构矩阵分析方法是利用计算机进行结构力学计算的方法。 矩阵力法 ——柔度法 杆系结构的有限单元法 矩阵位移法——刚度法(直接刚度法)*
图17-4
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• 17.1.6 引入支承条件，求结点位移
• 已知上例支承条件 1 =0，连同已获得的[K]，以及各结点 荷载值（M1、M2、及M3=0）一起代入基本方程（7—6）式中，得：
4i1 2i 1 0 2i1 4i1 4i 2 2i 2 0 0 2i 2 2 4i 2 3 M1 M 2 0
K M
[K]为结构总刚度矩阵 {Q}为结点转角列阵 {M}为结点力矩列阵
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• 17.1.4 形成单元刚度矩阵
• 例17-3：写出图示结构的杆端力矩 • 解： 据转角方程可得： • M 1 4i 1 2i 2 • M 2 2i 1 4i 2 • 式中 • EI i l • 上式写成矩阵形式为
1 K11 1 K21 0
K12 K22 K32
1 K12
K13 K23 K33 0 2 K23 2 K33 0 2i2 4i2
1 2 K22 K22 2 K32
•
4i1 2i1 0
2i1 4i1 4i2 2i2
｛
矩阵位移法是以位移法为力学原理，应用矩阵理论，以电子 计算机为工具的结构分析方法。 有限单元法包含两个基本环节：一是单元分析；一是整体分析。
在矩阵位移法中：单元分析的任务是建立单元刚度方程，形 成单元刚度矩阵——讨论任意坐标系中单元刚度方程的通用形式； 整体分析的任务是将单元及合成整体，由单元刚度矩阵按照 刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移法基本方 程，从而求解。 直接由单元刚度矩阵导出整体刚度矩阵的集成规则，是矩阵 位移法的核心内容。
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• 以图示连续梁为例说明 矩阵位移法的概念。 •1.单元分析 • ①确定基本未知量， 2, • ②划分单元杆； 12杆,23杆; • ③列各杆端转角位移方程 M 12 2i 2 M 21 4i1 2 M 23 3i2 2 •２．整体分析 • ①建立位移法基本方程； • M 2 0 : M 21 M 23 M 2 M 2 (4i1 3i2 ) 2 • ②求杆端弯矩； ３.绘M图。
M 1 4i 2i 1 e e [ K ] { } M 2 2i 4i 2
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e
e
• 17.1.5 形成总刚度矩阵
• 例7-4：写出图7-4所示结构的刚度矩阵 • 解：图示结构的刚度矩阵：
K11 K K21 K31
M 32 0
• 17.1.2 直接刚度法
•
对于连续梁的每一个结点都视为有一个角位移未知
• 数，并规定这些转角均以顺时针方向为正。
• 百度文库7.1.3 转角位移方程
K11 1 K12 2 K13 3 M 1 K21 1 K22 2 K23 3 M 2 K31 1 K32 2 K33 3 M 3
• 据矩阵运算的基本法则，则得：
4i1 4i 2 2i 2 2i2 2 M 2 4i2 3 0
• 解得：
M2 2 4i1 3i2 M 2 3 2(4i1 3i2 )
•
杆2
M 23 4i 2 2i 2 M 32
M2 3i 2 M 2 2i 2 4i1 3i 2 4i1 3i 2 M2 4i 2 0 ( 4 i 3 i ) 2 1 2
• 式中：Kij（i=1,2,3;j=1,2,3）称为结点刚度系数。它表示当 θj=1时，在结点i处并在θi方向上所需加的结点力矩总和。
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• 写成矩阵形式为：
K11 K 21 K31
• 简式为：
• 式中： • •
K12 K22 K32
K13 1 M 1 K23 2 M 2 M K33 3 3
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• 17.1.7 求单元杆端力
• 例7-5：求图7-5所示连续梁 • 的杆端力 • 解： 由题可知 杆1
M 12 4i1 1 1 [ K ] 2i M 21 1 2i1 M 2 0 2i1 M 4i1 3i2 2 4i M 4i1 1 2 4i1 3i 2 4i1 3i2
• 注：以上用连续梁说明直接刚度的方法步骤, • 完全适用于其它类型结构。其中，[K]的组成 • 是直接刚度法的核心部分。
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•
第二节
单元刚度矩阵
• 17.2.1 结构离散化 • 将杆系结构分离有限个单元杆— 离散化。 • 原则：以杆元汇交点、荷载作用点、载面突变点为结点，尽 量使相关结点，编码和差值最小。矩阵位移法讨论结点荷载问题， 非结点荷载需另外处理。
第十章
矩阵位移法
• 矩阵位移法的概念 第一节
• 第二节 单元刚度矩阵
• • • • • •
第三节
结构刚度矩阵 坐标转换矩阵 非结点荷载的处理
第四节
第五节
第六节 矩阵位移法的解题步骤 第七节 结构分析的计算机方法简介
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第一节
矩阵位移法的概念
• 结构矩阵分析方法是利用计算机进行结构力学计算的方法。 矩阵力法 ——柔度法 杆系结构的有限单元法 矩阵位移法——刚度法(直接刚度法)*
图17-4
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• 17.1.6 引入支承条件，求结点位移
• 已知上例支承条件 1 =0，连同已获得的[K]，以及各结点 荷载值（M1、M2、及M3=0）一起代入基本方程（7—6）式中，得：
4i1 2i 1 0 2i1 4i1 4i 2 2i 2 0 0 2i 2 2 4i 2 3 M1 M 2 0
K M
[K]为结构总刚度矩阵 {Q}为结点转角列阵 {M}为结点力矩列阵
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• 17.1.4 形成单元刚度矩阵
• 例17-3：写出图示结构的杆端力矩 • 解： 据转角方程可得： • M 1 4i 1 2i 2 • M 2 2i 1 4i 2 • 式中 • EI i l • 上式写成矩阵形式为
1 K11 1 K21 0
K12 K22 K32
1 K12
K13 K23 K33 0 2 K23 2 K33 0 2i2 4i2
1 2 K22 K22 2 K32
•
4i1 2i1 0
2i1 4i1 4i2 2i2
｛
矩阵位移法是以位移法为力学原理，应用矩阵理论，以电子 计算机为工具的结构分析方法。 有限单元法包含两个基本环节：一是单元分析；一是整体分析。
在矩阵位移法中：单元分析的任务是建立单元刚度方程，形 成单元刚度矩阵——讨论任意坐标系中单元刚度方程的通用形式； 整体分析的任务是将单元及合成整体，由单元刚度矩阵按照 刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移法基本方 程，从而求解。 直接由单元刚度矩阵导出整体刚度矩阵的集成规则，是矩阵 位移法的核心内容。
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• 以图示连续梁为例说明 矩阵位移法的概念。 •1.单元分析 • ①确定基本未知量， 2, • ②划分单元杆； 12杆,23杆; • ③列各杆端转角位移方程 M 12 2i 2 M 21 4i1 2 M 23 3i2 2 •２．整体分析 • ①建立位移法基本方程； • M 2 0 : M 21 M 23 M 2 M 2 (4i1 3i2 ) 2 • ②求杆端弯矩； ３.绘M图。
M 1 4i 2i 1 e e [ K ] { } M 2 2i 4i 2
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e
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• 17.1.5 形成总刚度矩阵
• 例7-4：写出图7-4所示结构的刚度矩阵 • 解：图示结构的刚度矩阵：
K11 K K21 K31