高考调研数学2-2

第二章
第2课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
2．与单调性有关的结论 ①若f(x)，g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)＋ g(x)为某区间上的 增(减) 函数． ②若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 减(增) 函数． ③y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单 调性相同，则y＝f[g(x)]是 增函数． 若f(x)与g(x)的单调性相 反，则y＝f[g(x)]是 减函数．
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5．若奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则不等式 f(lgx)＋f(1)>0的解集是________．
答案
1 (0，10)
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解析 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又因 为f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上也 为单调递减函数，所以函数f(x)在R上为单调递减函数． 不等式f(lgx)＋f(1)>0可化为f(lgx)>－f(1)＝f(－1)，所 1 以lgx<－1，解得0<x< . 10
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第二章 函数与基本初等函数
第二章
函数与基本初等函数
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第2课时 函数的单调性和最值
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理解函数的单调性及其几何意义；会运用函数图像 理解和研究函数的性质；会求简单函数的值域，理解最 大(小)值及几何意义．
【解析】
2 －x ＋2x＋3 (1)∵f(x)＝ 2 －x －2x＋3
x≥0 x<0
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其图像如图所示，所以，函数y＝f(x)的单调递增区 间为(－∞，－1]和[0,1]；单调递减区间为[－1,0]和[1， ＋∞)．
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3．函数的最值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得 f(x0)
＝M ，则称M是函数y＝f(x)的最大值；类比定义y＝f(x)
的最小值．
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1．(课本习题改编)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增 区间为________；f(x)max＝________.
答案 [1,4]
8
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解析 函数f(x)的对称轴：x＝1，单调增区间为 [1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.
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2．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是 ( ) A．y＝1－x2 C．y＝－ －x B．y＝x2＋x x D．y＝ x－1
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若两个函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函 1 数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)· g(x)， 等的单 fx 调性与其正负有关，切不可盲目类比． (2)求复合函数的单调区间时，要注意单调区间必须 在定义域内．
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题型三
利用函数的单调性求最值
1 例3 (1)求函数f(x)＝x－x在[1,3]上的最值．
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【解析】 解法一 设1≤x1<x2≤3 1 1 f(x2)－f(x1)＝x2－x －(x1－x ) 2 1 x2－x1 1 1 ＝x2－x1＋ － ＝x2－x1＋ x1 x2 x1x2 1 ＝(x2－x1)(1＋x x ) 1 2
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请注意！
函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必 考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单 调性比较大小、求值域、最值或解不等式．如2010年广东 卷第19题，2010年浙江卷第15题等.
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4．函数f(x)＝log0.5(x2－2x－8)的增区间________； 减区间________．
答案 (－∞，Βιβλιοθήκη Baidu2)，(4，＋∞)
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解析 先求函数的定义域，令x2－2x－8＞0，得x＞ 4或x＜－2，通过图像得函数u＝x2－2x－8，在x＞4时， 单调递增，在x＜－2时递减，所以原函数f(x)＝log0.5(x2－ 2x－8)在(4，＋∞)上递减，在(－∞，－2)上递增． 评析 求函数的单调区间，应先确定函数的定义 域，在定义域的基础上，划分单调增(减)区间，因此， 函数的单调区间应是定义域的子集．
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∵1≤x1<x2≤3，∴f(x2)－f(x1)>0 1 ∴f(x)＝x－ 在[1,3]上为增函数 x 8 ∴最小值为f(1)＝0，最大值为f(3)＝3.
答案 D
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1－x 3．(1)函数y＝ 的减区间是__________________ 1＋x _______________________________________________； (2)函数y＝ 1－x 的减区间是________________． 1＋x
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题型一
判断或证明函数的单调性
ax 例1 判断函数f(x)＝ 2 (a≠0)在区间(－1,1)上的单调 x －1 性．
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【解析】 法一 设－1<x1<x2<1， ax1x2＋1x2－x1 则f(x1)－f(x2)＝ . 2 2 x1－1x2－1 x1x2＋1x2－x1 ∵ 2 >0， x1－1x2 － 1 2 ∴a>0时，函数f(x)在(－1,1)上为减函数； a<0时，函数f(x)在(－1,1)上为增函数．
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【答案】 (1)单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． (2)增区间为[－1,1)，减区间为(－3，－1]．
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探究2 (1)求函数的单调区间，首先应注意函数的 定义域，函数的增减区间都是其定义域的子集；其次掌 握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常 用方法：定义法，利用图像和单调函数的性质，导数 法．
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【答案】 a>0时，函数f(x)在(－1,1)上为减函数； a<0时，函数f(x)在(－1,1)上为增函数．
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探究1 (1)判断函数的单调性有三种方法： ①图像法；②利用已知函数的单调性；③定义法． (2)证明函数的单调性有两种方法： ①定义法；②导数法．
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(2)设u＝－x2－2x＋3(u>0)，其图像如图所示．
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1 ∵0< <1， 2 ∴f(x)的单调增区间就是u(x)＝－x2－2x＋3(u>0)的单 调减区间[－1,1)；单调减区间就是u(x)的单调增区间(－ 3，－1] ∴f(x)的增区间为[－1,1)，减区间为(－3，－1]．
答案
(1)(－∞，－1)，(－1，＋∞) (2)(－1,1]
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1－x 2 解析 (1)∵y＝ ＝－1＋ 1＋x 1＋x ∴当1＋x＞0或1＋x＜0时，此函数均为减函数，故 减区间为(－1，＋∞)、(－∞，－1) 1－x (2)由 ≥0得x∈(－1,1]，此即为递减区间． 1＋x
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1．单调性定义 (1)单调性定义：给定区间D上的函数y＝f(x)，若对于
∀x1，x2 ∈D，当x1＜x2时，都有f(x1) ＜ f(x2)，则f(x)为区
间D上的增函数，否则为区间D上的减函数． 单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的 子区间．
－ －
＝(2 x1－2 x2)＋a(2 x1－2 x2)
－ －
x1 x2 2 －a x1 x2 ＝(2 －2 )· 2 x1 x2 .
＋ ＋
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∵x1<x2，∴2 x1<2 x2，∴2 x1－2 x2<0； ∵a<0，∴2 x1 x2－a>0.又 2 x1 x2>0.
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思考题2 求下列函数的单调区间． 1 (1)f(x)＝ 2； 3－2x－x (2)f(x)＝log1 (－x2＋4x＋5)；
2
(3)y＝x－ln(x－1)．
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【解析】 (1)∵3－2x－x2>0，∴－3<x<1. 由一元二次函数图像可知f(x)的递减区间是(－3，－ 1]，递增区间为(－1,1)． (2)令u＝－x2＋4x＋5，则f(x)＝log1 u.
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④奇函数在对称区间上的单调性 相同 ，偶函数在对 称区间上的单调性 相反． ⑤若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)的最 大值为 f(a) ，最小值为 f(b) ，值域为 [f(b)，f(a)]．
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(2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定 义入手，也可以从导数入手．①利用定义证明单调性的 一般步骤是a.∀x1，x2∈D，且x1<x2 ，b.计算f(x1)－f(x2) 并 判断符号，c.结论． ②设y＝f(x)在某区间内可导，如果f′(x) ≥ 0，则f(x) 为增函数，若f′(x) ≤ 0，则f(x)为减函数．
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－ax2＋1 法二 对f(x)求导，有f′(x)＝ 2 ， x －12 ∵x∈(－1,1)，∴(x2－1)2>0，x2＋1>0， ∴当a<0时，f′(x)>0，f(x)在(－1,1)上为增函数， 当a>0时，f′(x)<0，f(x)在(－1,1)上为减函数．
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思考题1 设函数f(x)＝2x＋a· 2 x－1(a为实数)．若
－
a<0，用函数单调性定义证明：y＝f(x)在(－∞，＋∞)上 是增函数．
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【解析】 设任意实数 x1<x2， 则 f(x1)－f(x2) ＝(2x1＋a· 2 x1－1)－(2 x2＋a· 2 x1－1)
＋ ＋
∴f(x1)－f(x2)<0，所以 f(x)是增函数．
【答案】 略
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题型二
例2
求函数的单调区间
求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3； (2)f(x)＝log1 (－x2－2x＋3)．
2
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2
∵u>0，∴－1<x<5且x∈(－1,2]，u为增函数；x∈ (2,5)时，u为减函数．
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又y＝log 1 u在(0，＋∞)上为减函数，据复合函数同
2
增异减， 故f(x)在(－1,2]上单调递减；f(x)在(2,5)上单调递 增． (3)由x－1>0得x>1 x－2 1 y′＝1－ ＝ x－1 x－1
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x y′ y
(1,2) －
2 0
(2，＋∞) ＋
由上表可知，函数的增区间为(2，＋∞)，减区间为 (1,2)．
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【答案】 (1)递减区间是(－3，－1]，递增区间为 (－1,1)． (2)f(x)在(－1,2]上单调递减；f(x)在(2,5)上单调递 增． (3)增区间为(2，＋∞)，减区间为(1,2)．