第8章 湍流流动与换热的数值模拟
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正比于脉动尺度
l
、反比于脉动速度
k 1/2
对推导过程中得出的一些复杂项做简化处理时用此定义。
35
8.4.2 k 控制方程
36
8.4.2 k 控制方程
37
8.4.3 k 两方程模型的通用控制方程
模型中的系数与常数
38
8.4.3 k 两方程模型的通用控制方程
39
8.4.4 几点说明
8.1.2 湍流的特征
2.湍流的基本特征
3）三维涡量脉动：在描述湍流的形成和运动时，涡动力学起 着关键的作用。能量从大涡向小涡传递的过程，主要是通过 涡管的拉伸来进行的。 4）扩散性：在湍流中，动量、质量和热交换的速率比层流扩 散（分子扩散）的速率大几个数量级，这导致了湍流的许多 重要应用。 5）能量的强输运性：湍流中能量不断地由大涡向小涡逐级输 运，通过与次级尺度涡的相互作用，不断把动能传递给小尺 度的涡。 6）耗散性：在最小尺度涡的脉动中，能量不断被粘性转换为 热，从而不会进一步出现更小乃至无限小尺度的运动。为补 偿粘性耗散，湍流需要不断补充能量，否则将很快衰减。
7
8.1.2 湍流的特征
3.湍流的本质特征
流体在作湍流运动时，除了主流方向的运动外，流体中 的微团还作不规则的运动。因此，当流体微团从一个位置 脉动到另一个位置时将产生两个作用： （1）不同流速层之间有附加的动量交换，产生了附加的切 应力，称为湍流切应力； （2）不同温度层之间有附加的热量交换，产生了附加的热 流密度，称为湍流热流密度；
这里 lm 称为混合长度，确定合适的混合长度是零方程模型 的关键。
27
8.3.1 零方程模型
2.常用的混合长度计算式
28
8.3.1 零方程模型
29
8.3.1 零方程模型
3.零方程模型应用范围
(1) 边界层类型流动与换热（机翼上气流脱离前部分）；
(2) 平直通道内的流动与换热；
(3) 回流较弱接近于边界层类型流动与换热。 零方程模型的缺点： (1) 在通道中心处速度梯度为零，但实际 t 不为零； (2) 不能考虑来流湍流情况的影响； (3) 不能考虑到湍流本身特性的影响。
（2）小尺度的涡旋主要是由粘性力所决定，其尺寸可
能只有流场尺度的千分之一的量级，是引起高频脉动的 原因。
4
8.1.1 现阶段对湍流的认识
3.Navier-Stokes方程对湍流的瞬时运动仍然适用；
4.上世纪后半叶曾经争论Navier-Stokes方程是否适用于
湍流，直接模拟的成功给予了肯定的回答；
f f
t t
2 0 2 xi
是相应的脉动值
15
, f
是两个瞬时值，
, f
8.2 不可压缩流体对流换热湍流时均方程
8.2.1 时均形式的控制方程 8.2.2 确定附加项的两类方法 8.2.3 采用湍流黏性的控制方程
16
8.2.1 时均形式的控制方程
������������������ 个节点，用8× ������������������ 个时间
步长做统计平均。
10
8.1.3 湍流数值模拟方法分类
2.大涡模拟
基本思想：湍流的脉动主要由大尺度涡所造成，各向异性
而且随情形而异；小尺度涡的主要作用是耗散能量，几乎各向
同性。用N-S方程直接计算大尺度涡，而小尺度涡的作用则通 过引入简化的模型来考虑。 LES所需的计算机资源虽仍然较大，但比 DNS则有数量级的 下降，逐渐成为研究的热点，并初步得到工程应用。 对于上述同样一个问题，采用LES所需网格可下降到
(1)2D问题脉动动能产生率G展开式
三维问题展开式有18项。
(2)上述模型称为标准
k
模型，适用于湍流已经
旺盛发展区域，又称为高Reynolds数
k
模型。
40
8.5 壁面函数法
8.5.1 湍流计算时壁面附近布置节点的两种方法
8.5.2 壁面函数法的基本思想 8.5.3 标准 k 模型中 k , 边界条件的处理
3.湍流脉动动能控制方程
4.湍流脉动动能控制方程边界条件：采用壁面函数法。
32
8.4 两方程模型
8.4.1 与 l 有关的第二个变量
8.4.2 k 控制方程 8.4.3 k 两方程模型的通用控制方程
8.4.4 几点说明
33
8.4.1 与
l 有关的第二个变量
1.在发展过程中引入了多个与脉动尺度有关的物理量
43
8.5.2 壁面函数法的基本思想
1.假定在所研究问题中，壁面附近黏性支层以外无 量纲速度与温度的分布服从对数分布律。
(1) 流体力学中的对数分布律 对管道内旺盛湍流区，壁面附近速度分布为：
切应力速度
(2) 湍流模型中采用的速度对数分布律
44
8.5.2 壁面函数法的基本思想
(3) 温度对数分布律：仿u+速度，定义
确定湍流黏性系数所需微分方程的个数成为湍流工程计算 模型的名称。 当该标量为流体温度时，对应的层流（分子）扩散系数为：
因此：采用湍流黏性系数模型时，计算的任务在于确定
23
8.2.3 采用湍流黏性的控制方程
1.控制方程－以下时均量均略去时均符号：
2.采用湍流黏性系数时，与层流控制方程的差别在于：
24
• 理论上来说，所有的湍流流动能够由数值解出所有的N-S方程来模拟 • 解出尺寸频谱，不需要任何模型 • 花费太高! 对工程流动不实用
大涡模拟 （LES）
• 解算空间平均 N-S 方程，大涡可以直接解出, 但是涡比模拟过的网格要小 • 没有 DNS消耗那么大,但是对于大多数的实际应用来说占用计算资源和效果 还是太大了
128x80x80=819200。
11
8.1.3 湍流数值模拟方法分类
3. Reynolds时均方程法
将瞬时量表示成时均值与脉动值之和，对 非稳态N-S方程进行时间平均，通过模型将时 均过程中产生的各种脉动量的时均值表示成时
均值的各类函数形式。
12
8.1.3 湍流数值模拟方法分类
直接数值模拟（DNS）
它可看作是单位质量流体脉动动能耗散率，CD 为无量纲
常数（耗散率的模拟定义）。
34
8.4.1 与
l 有关的第二个变量
2.耗散率的两种定义
(1) 严格的定义 它代表各向同性小尺度涡耗散的速率，是推导微分方程的出发点；
(2) 模拟的定义 模拟定义来源的理解：对单位体积流体从较大的涡向较
小的涡传递能量的速率正比于 k 而反比于传递时间，后者
8.2.3 采用湍流黏性的控制方程
3.湍流Prandtl数
在不同形式的流动中其值在一定范围内变化，一般取
为常数，于是湍流对流换热的研究归结为确定
25
8.3 零方程模型与一方程模型
8.3.1 零方程模型
8.3.2 一方程模型
26
8.3.1 零方程模型
1.零方程模型的湍流附加应力计算式
所谓零方程模型是指确定湍流黏性系数不需要微方程 的模型。该类模型中将湍流附加应力表示为：
湍流的本质特征
8
8.1.3 湍流数值模拟方法分类
基于连续介质假设的、Euler描述方法的湍流数值模拟方法 分为三大类：直接模拟、大涡模拟与Reynolds时均方程模拟。
9
பைடு நூலகம்
8.1.3 湍流数值模拟方法分类
1.直接模拟
需要采用很小的时间步长和空间步长才能将不同尺度的 涡的演化过程模拟出来，因此对计算机资源要求很高，一般 需要超级计算机。 对于L=6.4H的方形截面 通道内充分发展混合对流湍 流,在Re＝6400，Gr＝ ������������������ ~������������������ 的情形，直接模拟 采用了256x128x128=4.194×
程中又引进了更高阶的附加量；需要进一步导出确定更高 阶附加量的控制方程，但是最终必须终止在近似的模型上； 如此处理已经导出了多达20余个偏微分方程的模型。 其中对两个脉动量乘积的时均值导出微分方程，对三
个脉动量乘积时均值建立模型的方法称为二阶矩模型，已
经得到工程应用，清华大学周力行教授研究组贡献甚多。
8.5.4 壁面函数法实施注意事项
41
8.5.1 湍流计算时壁面附近布置节点的两种方法
1.在黏性支层中布置足够多的节点（>10个）
42
8.5.1 湍流计算时壁面附近布置节点的两种方法
2.将第一个内节点布置到黏性支层之外
此时需对壁面 附近流体速度的分
布作出假设，在高
Reynolds数k-ε两
方程模型中采用。
21
8.2.2 确定附加项的两类方法
2.湍流黏性系数法
将两个脉动速度乘积的时均值表示成“湍流黏性系数”。 （1）湍流黏性系数定义 1877年Boussinesq 模拟层流的本构方程， 引入： 湍流脉动造成的应力：
脉动速度造成的压力：
22
8.2.2 确定附加项的两类方法
(2) 其它湍流脉动附加通量的定义
5.分岔，混沌，奇怪吸引子以及湍流被认为是 20世纪四
大非线性物理现象。
5
8.1.2 湍流的特征
1.湍流的基本特征
1）随机性（不规则性）：湍流过程的状态变量都是随时 间脉动，这就说明我们用数值计算的方法来解决的问题都 是非定常的。 2）特征尺度的多重性： 湍流过程的最小空间尺度是 η ，说明在最小空间尺度 以内的过程变量可以看成是均匀的，而在大于这个尺度的 空间内过程变量是有分布的。因此，它要求我们在用数值 计算模拟湍流过程时，空间的网格尺寸不能大于湍流过程 的最小空间尺度。 湍流过程的最小时间尺度是 u ， ������′ 是脉动速度均方根， 也就是说，在湍流过程中，比最小时间尺度小的时间段内 发生的变化是可以不记的，即非定常过程进行数值计算时 的时间步长不能大于该最小时间尺度。 6
雷诺时均方程模型（RANS）
• 解总体均值（或者时间均值）纳维－斯托克斯方程 • 所有湍流长度规格在RANS中模拟 • 在工业流动计算中使用最为广泛
13
8.1.4 Reynolds时均值的定义及其性质
1.时均值的定义
在雷诺平均法中，任一变量的时间平均值定义为：
为时间步长，相对于湍流脉动周期足够大，相对于 时均量的变化周期则足够小。
时间平均值随时间而异
时间平均值不随时间而异
14
8.1.4 Reynolds时均值的定义及其性质
2.运算关系式
=0
f f
f f f
2 2 2 2 xi xi
=
f0
xi xi
0 xi
+ =
1.连续性方程
速度的时均值与脉动值的时均值分别满足连续性方程。
2.动量方程
以x方向为例：
17
8.2.1 时均形式的控制方程
18
8.2.1 时均形式的控制方程
写成直角坐标中张量的形式：
3.其他标量
4.关于时均值的讨论
(1) 一次项在时均过程中保持形式不变，二次项产生了
脉动值乘积的时均项，代表了由脉动而产生的附加通量 的转移；
30
8.3.2 一方程模型
1.湍流脉动动能作为计算变量
在现象上湍流最大的特点是脉动，脉动动能是表征脉 动大小的最合适的物理量，要考虑湍流本身特性的影响，
须将k作为求解变量。
2.Prandtl-Kolmogorov公式
将湍流脉动造成黏性过程与分子扩散形成分子黏性的
过程相比拟：
31
8.3.2 一方程模型
8.1.2 湍流的特征 8.1.3 湍流数值模拟方法分类
8.1.4 Reynolds时均值的定义及其性质
3
8.1.1 现阶段对湍流的认识
1.湍流是高度复杂的非稳态流动，其中的各物理量都随 时间与空间做随机的变化； 2.湍流流场可以看成是由各种不同尺度的涡叠加而成； （1）大尺度的涡旋主要由流动的边界条件所决定，其 尺寸可以与流场的大小相比拟，是引起低频脉动的原因；
数值传热学（Numerical Heat Transfer)
第8章 湍流流动与 换热的数值模拟
1
湍流流动与换热的数值模拟
主要内容 8.1 湍流现象概述
8.2 不可压缩流体对流换热湍流时均方程
8.3 零方程模型与一方程模型 8.4 两方程模型
8.5 壁面函数法
2
8.1 湍流现象概述 8.1.1 现阶段对湍流的认识
19
8.2.1 时均形式的控制方程
(2) 方程组不封闭：对二维问题有5个方程，14个变量： 5个时均量－ 9个脉动值乘积的时均项－ 要使上述方程组封闭必须补充用以确定这 9个附加
量的关系式，即湍流模型又称封闭模型。
20
8.2.2 确定附加项的两类方法
1.Reynolds应力方程法
对9个附加量分别导出确定它们的控制方程；在导出过
(4) 湍流模型中的速度与温度对数分布律
45
8.5.2 壁面函数法的基本思想
l
、反比于脉动速度
k 1/2
对推导过程中得出的一些复杂项做简化处理时用此定义。
35
8.4.2 k 控制方程
36
8.4.2 k 控制方程
37
8.4.3 k 两方程模型的通用控制方程
模型中的系数与常数
38
8.4.3 k 两方程模型的通用控制方程
39
8.4.4 几点说明
8.1.2 湍流的特征
2.湍流的基本特征
3）三维涡量脉动：在描述湍流的形成和运动时，涡动力学起 着关键的作用。能量从大涡向小涡传递的过程，主要是通过 涡管的拉伸来进行的。 4）扩散性：在湍流中，动量、质量和热交换的速率比层流扩 散（分子扩散）的速率大几个数量级，这导致了湍流的许多 重要应用。 5）能量的强输运性：湍流中能量不断地由大涡向小涡逐级输 运，通过与次级尺度涡的相互作用，不断把动能传递给小尺 度的涡。 6）耗散性：在最小尺度涡的脉动中，能量不断被粘性转换为 热，从而不会进一步出现更小乃至无限小尺度的运动。为补 偿粘性耗散，湍流需要不断补充能量，否则将很快衰减。
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8.1.2 湍流的特征
3.湍流的本质特征
流体在作湍流运动时，除了主流方向的运动外，流体中 的微团还作不规则的运动。因此，当流体微团从一个位置 脉动到另一个位置时将产生两个作用： （1）不同流速层之间有附加的动量交换，产生了附加的切 应力，称为湍流切应力； （2）不同温度层之间有附加的热量交换，产生了附加的热 流密度，称为湍流热流密度；
这里 lm 称为混合长度，确定合适的混合长度是零方程模型 的关键。
27
8.3.1 零方程模型
2.常用的混合长度计算式
28
8.3.1 零方程模型
29
8.3.1 零方程模型
3.零方程模型应用范围
(1) 边界层类型流动与换热（机翼上气流脱离前部分）；
(2) 平直通道内的流动与换热；
(3) 回流较弱接近于边界层类型流动与换热。 零方程模型的缺点： (1) 在通道中心处速度梯度为零，但实际 t 不为零； (2) 不能考虑来流湍流情况的影响； (3) 不能考虑到湍流本身特性的影响。
（2）小尺度的涡旋主要是由粘性力所决定，其尺寸可
能只有流场尺度的千分之一的量级，是引起高频脉动的 原因。
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8.1.1 现阶段对湍流的认识
3.Navier-Stokes方程对湍流的瞬时运动仍然适用；
4.上世纪后半叶曾经争论Navier-Stokes方程是否适用于
湍流，直接模拟的成功给予了肯定的回答；
f f
t t
2 0 2 xi
是相应的脉动值
15
, f
是两个瞬时值，
, f
8.2 不可压缩流体对流换热湍流时均方程
8.2.1 时均形式的控制方程 8.2.2 确定附加项的两类方法 8.2.3 采用湍流黏性的控制方程
16
8.2.1 时均形式的控制方程
������������������ 个节点，用8× ������������������ 个时间
步长做统计平均。
10
8.1.3 湍流数值模拟方法分类
2.大涡模拟
基本思想：湍流的脉动主要由大尺度涡所造成，各向异性
而且随情形而异；小尺度涡的主要作用是耗散能量，几乎各向
同性。用N-S方程直接计算大尺度涡，而小尺度涡的作用则通 过引入简化的模型来考虑。 LES所需的计算机资源虽仍然较大，但比 DNS则有数量级的 下降，逐渐成为研究的热点，并初步得到工程应用。 对于上述同样一个问题，采用LES所需网格可下降到
(1)2D问题脉动动能产生率G展开式
三维问题展开式有18项。
(2)上述模型称为标准
k
模型，适用于湍流已经
旺盛发展区域，又称为高Reynolds数
k
模型。
40
8.5 壁面函数法
8.5.1 湍流计算时壁面附近布置节点的两种方法
8.5.2 壁面函数法的基本思想 8.5.3 标准 k 模型中 k , 边界条件的处理
3.湍流脉动动能控制方程
4.湍流脉动动能控制方程边界条件：采用壁面函数法。
32
8.4 两方程模型
8.4.1 与 l 有关的第二个变量
8.4.2 k 控制方程 8.4.3 k 两方程模型的通用控制方程
8.4.4 几点说明
33
8.4.1 与
l 有关的第二个变量
1.在发展过程中引入了多个与脉动尺度有关的物理量
43
8.5.2 壁面函数法的基本思想
1.假定在所研究问题中，壁面附近黏性支层以外无 量纲速度与温度的分布服从对数分布律。
(1) 流体力学中的对数分布律 对管道内旺盛湍流区，壁面附近速度分布为：
切应力速度
(2) 湍流模型中采用的速度对数分布律
44
8.5.2 壁面函数法的基本思想
(3) 温度对数分布律：仿u+速度，定义
确定湍流黏性系数所需微分方程的个数成为湍流工程计算 模型的名称。 当该标量为流体温度时，对应的层流（分子）扩散系数为：
因此：采用湍流黏性系数模型时，计算的任务在于确定
23
8.2.3 采用湍流黏性的控制方程
1.控制方程－以下时均量均略去时均符号：
2.采用湍流黏性系数时，与层流控制方程的差别在于：
24
• 理论上来说，所有的湍流流动能够由数值解出所有的N-S方程来模拟 • 解出尺寸频谱，不需要任何模型 • 花费太高! 对工程流动不实用
大涡模拟 （LES）
• 解算空间平均 N-S 方程，大涡可以直接解出, 但是涡比模拟过的网格要小 • 没有 DNS消耗那么大,但是对于大多数的实际应用来说占用计算资源和效果 还是太大了
128x80x80=819200。
11
8.1.3 湍流数值模拟方法分类
3. Reynolds时均方程法
将瞬时量表示成时均值与脉动值之和，对 非稳态N-S方程进行时间平均，通过模型将时 均过程中产生的各种脉动量的时均值表示成时
均值的各类函数形式。
12
8.1.3 湍流数值模拟方法分类
直接数值模拟（DNS）
它可看作是单位质量流体脉动动能耗散率，CD 为无量纲
常数（耗散率的模拟定义）。
34
8.4.1 与
l 有关的第二个变量
2.耗散率的两种定义
(1) 严格的定义 它代表各向同性小尺度涡耗散的速率，是推导微分方程的出发点；
(2) 模拟的定义 模拟定义来源的理解：对单位体积流体从较大的涡向较
小的涡传递能量的速率正比于 k 而反比于传递时间，后者
8.2.3 采用湍流黏性的控制方程
3.湍流Prandtl数
在不同形式的流动中其值在一定范围内变化，一般取
为常数，于是湍流对流换热的研究归结为确定
25
8.3 零方程模型与一方程模型
8.3.1 零方程模型
8.3.2 一方程模型
26
8.3.1 零方程模型
1.零方程模型的湍流附加应力计算式
所谓零方程模型是指确定湍流黏性系数不需要微方程 的模型。该类模型中将湍流附加应力表示为：
湍流的本质特征
8
8.1.3 湍流数值模拟方法分类
基于连续介质假设的、Euler描述方法的湍流数值模拟方法 分为三大类：直接模拟、大涡模拟与Reynolds时均方程模拟。
9
பைடு நூலகம்
8.1.3 湍流数值模拟方法分类
1.直接模拟
需要采用很小的时间步长和空间步长才能将不同尺度的 涡的演化过程模拟出来，因此对计算机资源要求很高，一般 需要超级计算机。 对于L=6.4H的方形截面 通道内充分发展混合对流湍 流,在Re＝6400，Gr＝ ������������������ ~������������������ 的情形，直接模拟 采用了256x128x128=4.194×
程中又引进了更高阶的附加量；需要进一步导出确定更高 阶附加量的控制方程，但是最终必须终止在近似的模型上； 如此处理已经导出了多达20余个偏微分方程的模型。 其中对两个脉动量乘积的时均值导出微分方程，对三
个脉动量乘积时均值建立模型的方法称为二阶矩模型，已
经得到工程应用，清华大学周力行教授研究组贡献甚多。
8.5.4 壁面函数法实施注意事项
41
8.5.1 湍流计算时壁面附近布置节点的两种方法
1.在黏性支层中布置足够多的节点（>10个）
42
8.5.1 湍流计算时壁面附近布置节点的两种方法
2.将第一个内节点布置到黏性支层之外
此时需对壁面 附近流体速度的分
布作出假设，在高
Reynolds数k-ε两
方程模型中采用。
21
8.2.2 确定附加项的两类方法
2.湍流黏性系数法
将两个脉动速度乘积的时均值表示成“湍流黏性系数”。 （1）湍流黏性系数定义 1877年Boussinesq 模拟层流的本构方程， 引入： 湍流脉动造成的应力：
脉动速度造成的压力：
22
8.2.2 确定附加项的两类方法
(2) 其它湍流脉动附加通量的定义
5.分岔，混沌，奇怪吸引子以及湍流被认为是 20世纪四
大非线性物理现象。
5
8.1.2 湍流的特征
1.湍流的基本特征
1）随机性（不规则性）：湍流过程的状态变量都是随时 间脉动，这就说明我们用数值计算的方法来解决的问题都 是非定常的。 2）特征尺度的多重性： 湍流过程的最小空间尺度是 η ，说明在最小空间尺度 以内的过程变量可以看成是均匀的，而在大于这个尺度的 空间内过程变量是有分布的。因此，它要求我们在用数值 计算模拟湍流过程时，空间的网格尺寸不能大于湍流过程 的最小空间尺度。 湍流过程的最小时间尺度是 u ， ������′ 是脉动速度均方根， 也就是说，在湍流过程中，比最小时间尺度小的时间段内 发生的变化是可以不记的，即非定常过程进行数值计算时 的时间步长不能大于该最小时间尺度。 6
雷诺时均方程模型（RANS）
• 解总体均值（或者时间均值）纳维－斯托克斯方程 • 所有湍流长度规格在RANS中模拟 • 在工业流动计算中使用最为广泛
13
8.1.4 Reynolds时均值的定义及其性质
1.时均值的定义
在雷诺平均法中，任一变量的时间平均值定义为：
为时间步长，相对于湍流脉动周期足够大，相对于 时均量的变化周期则足够小。
时间平均值随时间而异
时间平均值不随时间而异
14
8.1.4 Reynolds时均值的定义及其性质
2.运算关系式
=0
f f
f f f
2 2 2 2 xi xi
=
f0
xi xi
0 xi
+ =
1.连续性方程
速度的时均值与脉动值的时均值分别满足连续性方程。
2.动量方程
以x方向为例：
17
8.2.1 时均形式的控制方程
18
8.2.1 时均形式的控制方程
写成直角坐标中张量的形式：
3.其他标量
4.关于时均值的讨论
(1) 一次项在时均过程中保持形式不变，二次项产生了
脉动值乘积的时均项，代表了由脉动而产生的附加通量 的转移；
30
8.3.2 一方程模型
1.湍流脉动动能作为计算变量
在现象上湍流最大的特点是脉动，脉动动能是表征脉 动大小的最合适的物理量，要考虑湍流本身特性的影响，
须将k作为求解变量。
2.Prandtl-Kolmogorov公式
将湍流脉动造成黏性过程与分子扩散形成分子黏性的
过程相比拟：
31
8.3.2 一方程模型
8.1.2 湍流的特征 8.1.3 湍流数值模拟方法分类
8.1.4 Reynolds时均值的定义及其性质
3
8.1.1 现阶段对湍流的认识
1.湍流是高度复杂的非稳态流动，其中的各物理量都随 时间与空间做随机的变化； 2.湍流流场可以看成是由各种不同尺度的涡叠加而成； （1）大尺度的涡旋主要由流动的边界条件所决定，其 尺寸可以与流场的大小相比拟，是引起低频脉动的原因；
数值传热学（Numerical Heat Transfer)
第8章 湍流流动与 换热的数值模拟
1
湍流流动与换热的数值模拟
主要内容 8.1 湍流现象概述
8.2 不可压缩流体对流换热湍流时均方程
8.3 零方程模型与一方程模型 8.4 两方程模型
8.5 壁面函数法
2
8.1 湍流现象概述 8.1.1 现阶段对湍流的认识
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8.2.1 时均形式的控制方程
(2) 方程组不封闭：对二维问题有5个方程，14个变量： 5个时均量－ 9个脉动值乘积的时均项－ 要使上述方程组封闭必须补充用以确定这 9个附加
量的关系式，即湍流模型又称封闭模型。
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8.2.2 确定附加项的两类方法
1.Reynolds应力方程法
对9个附加量分别导出确定它们的控制方程；在导出过
(4) 湍流模型中的速度与温度对数分布律
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8.5.2 壁面函数法的基本思想