横截面和斜截面上的应力
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F A F
k
n
k' k
F
k'
FN p
FN F p A A
所以截面上的正应力和
切应力为：
＝ cos2 ＝ sin 2
F k
k'
p
讨论：
2
①当 =0 时，有σmax=σ=σ ，τ =0 。
②当 =45时，有τmax =τ =σ/2 。
FN l l EA
EA称为杆的抗拉（压）刚度 。
例 图示阶梯杆，已知横截面面积 AAB=ABC=500mm2 ， ACD=300mm2，弹性模量E=200GPa。试求杆的总伸长。 解 ①作轴力图。 ②分段计算变形量。 △lAB = 0.02mm △lBC = -0.01mm △lCD = -0.0167mm ③计算总变形量。 △l = △lAB + △lBC + △lCD =0.0067mm
轴向拉压杆横截面上各点的应力大小相等， 方向垂直于横截面。
F
FN
FN A
即横截面上的正应力计算式为
例 一中段开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN作用， 已知h=25mm，h0=10mm，b=20mm。试求杆内的最大 正应力。 1 2 F 解: F ①计算轴力 FN =-20KN ②计算最大的正应力值 Amin= A2=（h- h0）b=（25
F 1 2 2—2 A2 h0 h h b FN
A11—1
b
-10）×20mm2=
300mm2
σmax= FN/A 2=-20×103/300（MPa）=-66.7 MPa
三、拉压杆斜截面上的应力
轴向拉（压）杆的破 坏有时不沿着横截面， 因此有必要研究轴向拉 （压）杆斜截面上的应 力。如右图，斜截面上 的内力： FN = F 故其上的应力为：
1 1 1 1
2 2 2 2
轴向压缩
Fwk.baidu.com
1 1
2 2
F
经观察可以发现：横向线11、22在变形后，仍 为直线且与轴线正交；只是横向和纵向线间距变化， 由此可对均质材料的轴向拉压杆作如下假设: 平面假设——变形前为平面的横截面，变形后仍为平 面，仅沿轴向产生了相对平移。
由此可推断出：横截面上各点的变形程度相 同，受力相同；亦即内力——轴力在横截面上均 匀分布。由材料均匀性假设可的如下结论：
第三节 横截面和斜截面上的应力
一、应力的概念
平均应力：横截面某范围内单位面积上微内力的平 F 均集度 p
A
F1
m O点
F微内力
A微面积
F2
m
当面积趋于零时，平均应力的大小和 一点的应力： 方向都将趋于一定极限(即全应力)， 得到 F dF pm lim A0 A dA
F1 m p 全应力
拉伸时， ﹥0， ' ﹤0；压缩时， ﹤0， ' ﹥0； 3.泊松比μ（横向变形系数） 实验结果表明：一定范围内，杆件的横向线应变 与纵向线应变的比值为一常数。即
' =-
二、虎克定律
实验表明，当拉、压杆的正应力 不超过某 一限度时，其应力与应变 成正比。即 ＝E 上式称胡克定律。其中，比例常数 E 称为材料 的弹性模量。 虎克定律的另一种表达形式
③当 =90 时，有σ =0，τ =0 。
第四节 拉压杆的变形及虎克定律
一、纵向线应变和横向线应变
l1
a1
F
l
F
a
F
l1
1. 纵向变形为 l=l1- l
F
a1
横向变形为 a = a 1- a
2.线应变——杆件单位长度内的变形量。
l l1 l 纵向线应变： l l a a1 a 横向线应变： a a
m
O
F2
m
全应力pm通常分解成:
垂直于截面的分量σ－－正应力 平行于截面的分量τ－－切应力 应力的国际单位为Pa 1N/m2= 1Pa（帕斯卡） 1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa
FP1 m
切应力 全应力
p
K
FP2
正应力
m
二、拉压杆横截面上的正应力 1
轴向拉伸
F
1
2 2
F
A B C 30kN D
10kN
100
FN 20kN + O
100
100
－
10kN
x
k
n
k' k
F
k'
FN p
FN F p A A
所以截面上的正应力和
切应力为：
＝ cos2 ＝ sin 2
F k
k'
p
讨论：
2
①当 =0 时，有σmax=σ=σ ，τ =0 。
②当 =45时，有τmax =τ =σ/2 。
FN l l EA
EA称为杆的抗拉（压）刚度 。
例 图示阶梯杆，已知横截面面积 AAB=ABC=500mm2 ， ACD=300mm2，弹性模量E=200GPa。试求杆的总伸长。 解 ①作轴力图。 ②分段计算变形量。 △lAB = 0.02mm △lBC = -0.01mm △lCD = -0.0167mm ③计算总变形量。 △l = △lAB + △lBC + △lCD =0.0067mm
轴向拉压杆横截面上各点的应力大小相等， 方向垂直于横截面。
F
FN
FN A
即横截面上的正应力计算式为
例 一中段开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN作用， 已知h=25mm，h0=10mm，b=20mm。试求杆内的最大 正应力。 1 2 F 解: F ①计算轴力 FN =-20KN ②计算最大的正应力值 Amin= A2=（h- h0）b=（25
F 1 2 2—2 A2 h0 h h b FN
A11—1
b
-10）×20mm2=
300mm2
σmax= FN/A 2=-20×103/300（MPa）=-66.7 MPa
三、拉压杆斜截面上的应力
轴向拉（压）杆的破 坏有时不沿着横截面， 因此有必要研究轴向拉 （压）杆斜截面上的应 力。如右图，斜截面上 的内力： FN = F 故其上的应力为：
1 1 1 1
2 2 2 2
轴向压缩
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1 1
2 2
F
经观察可以发现：横向线11、22在变形后，仍 为直线且与轴线正交；只是横向和纵向线间距变化， 由此可对均质材料的轴向拉压杆作如下假设: 平面假设——变形前为平面的横截面，变形后仍为平 面，仅沿轴向产生了相对平移。
由此可推断出：横截面上各点的变形程度相 同，受力相同；亦即内力——轴力在横截面上均 匀分布。由材料均匀性假设可的如下结论：
第三节 横截面和斜截面上的应力
一、应力的概念
平均应力：横截面某范围内单位面积上微内力的平 F 均集度 p
A
F1
m O点
F微内力
A微面积
F2
m
当面积趋于零时，平均应力的大小和 一点的应力： 方向都将趋于一定极限(即全应力)， 得到 F dF pm lim A0 A dA
F1 m p 全应力
拉伸时， ﹥0， ' ﹤0；压缩时， ﹤0， ' ﹥0； 3.泊松比μ（横向变形系数） 实验结果表明：一定范围内，杆件的横向线应变 与纵向线应变的比值为一常数。即
' =-
二、虎克定律
实验表明，当拉、压杆的正应力 不超过某 一限度时，其应力与应变 成正比。即 ＝E 上式称胡克定律。其中，比例常数 E 称为材料 的弹性模量。 虎克定律的另一种表达形式
③当 =90 时，有σ =0，τ =0 。
第四节 拉压杆的变形及虎克定律
一、纵向线应变和横向线应变
l1
a1
F
l
F
a
F
l1
1. 纵向变形为 l=l1- l
F
a1
横向变形为 a = a 1- a
2.线应变——杆件单位长度内的变形量。
l l1 l 纵向线应变： l l a a1 a 横向线应变： a a
m
O
F2
m
全应力pm通常分解成:
垂直于截面的分量σ－－正应力 平行于截面的分量τ－－切应力 应力的国际单位为Pa 1N/m2= 1Pa（帕斯卡） 1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa
FP1 m
切应力 全应力
p
K
FP2
正应力
m
二、拉压杆横截面上的正应力 1
轴向拉伸
F
1
2 2
F
A B C 30kN D
10kN
100
FN 20kN + O
100
100
－
10kN
x