数系的扩充与复数的概念PPT优秀课件
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轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在
虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复
数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复
数都是纯虚数。
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对
应的点在虚轴上”的C （ ）。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
2 7 0.618 2 i 0
7
i 2 i1 3 5 i +8， 39 2i
2、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1 )i
不能比较大小。
例2 已知( 2 x 1 ) i y ( 3 y ) i，其中x,yR
求 x与y.解题思考：
复数相等 转化 求方程组的解
的问题
的问题
一种重要的数学思想：转化思想
练习：
1、若x，y为实数，且
x 2 y 2 x y 2 i 4 i
求x，y
i 2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0，求x的值.
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数 b0
R C
复数a+bi 虚数 b0非 纯纯 虚a虚 数 a0数 ， 0b，b00
思 考？
复数集，虚数集，实数 集，纯虚数集之间的关 系？
复数集
虚数集
纯虚数集
实数集
练一练：
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
一一对应
实数
数轴上的点
(数) 直线
规定了 正方向，
o
(形)
原点，单位长度
数轴
x (几何模型)
1
你能否找到用来表示复数的几何模型呢？
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
（数）
y
直角坐标系中的点Z(a,b)
平面向量 OZ （形）
建立了平面直角
z=a+bi Z(a,b)
坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
我们知道若 abi0则
a_0___b__0____
思考： 如何定义两个复数的相等？
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那 么我们就说这两个复数相等．
若 a,b,c,dR,
a c
ab icd i b d
注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；
复习回顾
数 系 的 扩 充
自然数 整数
有理数 实数 ？
用图形表示包含关系：
RQ Z N
知识引入
我们已知知道：
对于一元二次方程 x2 10没有实数根．
x2 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
i 引入一个新数：
满足 i2 1
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Zm 2m 2(m 21 )i
数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
图示
满
足
|z|=5(z∈C) 的 复
数z对应的点在复平
面 上 将 构 成 怎 样 的–5 图形？ 设z=x+yi(x,y∈R)
y 5
5
O
x
z x2y2 5
–5 x -5 -4 -3 0 3 4 5 y 0 3 4 5 43 0
辨析：
1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实
新课标人教版课件系列
《数学》
选修1-2
3.1.1《数系的扩充 与复数的概念》
教学目标
理解数系的扩充是与生活密切相关的，明 白复数及其相关概念。
教学重点：复数及其相关概念，能区分虚 数与纯虚数，明白各数系的关系。
教学难点：复数及其相关概念的理解
引言：在人和社会的发展过 程中，常常需要立足今天，回顾 昨天，展望明天。符合客观发展 规律的要发扬和完善，不符合的 要否定和抛弃。那么，在实数集 向复数集发展的过程中，我们应 该如何发扬和完善，否定和抛弃 呢？
并且规定：
（1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
zab(iaR,bR)
x
| a | = | OA |aa
(a0) (a0)
O
| z | = |OZ| a2 b2
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
思考： (1)复数的模能否比较大小？ (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？这些复
小结:
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式: z a b(a i R ,b R )
复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
ab icd i ba
c d
B
计算： nZ*
i4n 1
i4n2 -1
i4n1 i i4n3 i
实数可以用数轴上的点来表示。
(简称复平面)
a
Байду номын сангаасox
x轴------实轴
y轴------虚轴
概念辨析
例题
能否把绝对值概念推广到复数范围呢？
实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值
实数a在数轴上所 对应的点A到原点O 的距离。
a
(复数的模) 复数 z=a+bi在复
平面上对应的点Z(a,b) 到原点的距离。
y
OA
X
z=a+bi Z (a,b)
(D)不充分不必要条件
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 在复平面内所对应的点位于第二象限， 求实数m允许的取值范围。
变式：证明对一切m，此复数所对应的 点不可能位于第四象限。
虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复
数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复
数都是纯虚数。
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对
应的点在虚轴上”的C （ ）。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
2 7 0.618 2 i 0
7
i 2 i1 3 5 i +8， 39 2i
2、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1 )i
不能比较大小。
例2 已知( 2 x 1 ) i y ( 3 y ) i，其中x,yR
求 x与y.解题思考：
复数相等 转化 求方程组的解
的问题
的问题
一种重要的数学思想：转化思想
练习：
1、若x，y为实数，且
x 2 y 2 x y 2 i 4 i
求x，y
i 2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0，求x的值.
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数 b0
R C
复数a+bi 虚数 b0非 纯纯 虚a虚 数 a0数 ， 0b，b00
思 考？
复数集，虚数集，实数 集，纯虚数集之间的关 系？
复数集
虚数集
纯虚数集
实数集
练一练：
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
一一对应
实数
数轴上的点
(数) 直线
规定了 正方向，
o
(形)
原点，单位长度
数轴
x (几何模型)
1
你能否找到用来表示复数的几何模型呢？
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
（数）
y
直角坐标系中的点Z(a,b)
平面向量 OZ （形）
建立了平面直角
z=a+bi Z(a,b)
坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
我们知道若 abi0则
a_0___b__0____
思考： 如何定义两个复数的相等？
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那 么我们就说这两个复数相等．
若 a,b,c,dR,
a c
ab icd i b d
注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；
复习回顾
数 系 的 扩 充
自然数 整数
有理数 实数 ？
用图形表示包含关系：
RQ Z N
知识引入
我们已知知道：
对于一元二次方程 x2 10没有实数根．
x2 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
i 引入一个新数：
满足 i2 1
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Zm 2m 2(m 21 )i
数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
图示
满
足
|z|=5(z∈C) 的 复
数z对应的点在复平
面 上 将 构 成 怎 样 的–5 图形？ 设z=x+yi(x,y∈R)
y 5
5
O
x
z x2y2 5
–5 x -5 -4 -3 0 3 4 5 y 0 3 4 5 43 0
辨析：
1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实
新课标人教版课件系列
《数学》
选修1-2
3.1.1《数系的扩充 与复数的概念》
教学目标
理解数系的扩充是与生活密切相关的，明 白复数及其相关概念。
教学重点：复数及其相关概念，能区分虚 数与纯虚数，明白各数系的关系。
教学难点：复数及其相关概念的理解
引言：在人和社会的发展过 程中，常常需要立足今天，回顾 昨天，展望明天。符合客观发展 规律的要发扬和完善，不符合的 要否定和抛弃。那么，在实数集 向复数集发展的过程中，我们应 该如何发扬和完善，否定和抛弃 呢？
并且规定：
（1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
zab(iaR,bR)
x
| a | = | OA |aa
(a0) (a0)
O
| z | = |OZ| a2 b2
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
思考： (1)复数的模能否比较大小？ (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？这些复
小结:
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式: z a b(a i R ,b R )
复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
ab icd i ba
c d
B
计算： nZ*
i4n 1
i4n2 -1
i4n1 i i4n3 i
实数可以用数轴上的点来表示。
(简称复平面)
a
Байду номын сангаасox
x轴------实轴
y轴------虚轴
概念辨析
例题
能否把绝对值概念推广到复数范围呢？
实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值
实数a在数轴上所 对应的点A到原点O 的距离。
a
(复数的模) 复数 z=a+bi在复
平面上对应的点Z(a,b) 到原点的距离。
y
OA
X
z=a+bi Z (a,b)
(D)不充分不必要条件
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 在复平面内所对应的点位于第二象限， 求实数m允许的取值范围。
变式：证明对一切m，此复数所对应的 点不可能位于第四象限。