第四讲 数学的魅力 ppt课件
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18
1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上 发表论文，宣布证明了“四色猜想”。
但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的 证明中有严重错误。
19
一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难， 这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。
实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小并不重 要,重要的是它们的相互位置。
16
德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少 要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。
17
但德·摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数 学家,其中包括著名数学家哈密顿。
但这个问题当时没有引起数学家的重视。 直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后，
认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在《伦敦数 学会文集》上发表了一篇《论地图着色》的文章,才引起了 更大的注意。
7
固原市至少有两个人头发根数一样多
构造性证明 ：
一个一个地去数固原市中所有人的头发根数，一 定可以找到两个具体的人，不妨称之为张三和李四， 他们的头发根数一样多，便完成了证明。
8
固原市至少有两个人头发根数一样多
纯存在性证明 ：
“抽屉原理” 证明“367个人中至少有两个人的生日是相同的” 证明“固原市中一定存在两个头发根数一样多的人”
2
一、渔网来自百度文库几何规律
用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片 网，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)，网眼 数(F)，边数(E)都必定适合下面的公式：
V + F– E = 1
3
多面体的欧拉公式
V + F– E =2
4
数学就有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变得简明，把看起来混乱 的事物理出规律。
下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看, 问题的实质在于地图的“拓扑结构”。
20
合理的退让——不得已而求其次
加强命题的条件 或者减弱命题的结论
希伍德证明了“五色定理”
21
一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究,获得 了一系列成果。
1920年弗兰克林证明了,对于不超过25个国家的地图,四色猜 想是正确的。
由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯 和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学 家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
15
五、四色问题
四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年 首先由一位英国大学生F．古色利提出。
他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具有公共 边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。
但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德里 克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰出的英国数学家 德·摩根，希望帮助给出证明。
6
例如“任意两个正整数都存在最大公约数” 这个存 在性命题，我们可以用“辗转相除法”给出构造性 的证明，在证明最大公约数存在的同时，也给出了 求最大公约数的方法。(例：（210，1950）= 30 )
再例如“连续函数如果在两个端点反号，则中间一 定存在零点” 这个存在性命题，我们在教材中看到 的和在课堂上听到的，往往是纯存在性证明，证明 了零点的存在，但并不给出找到零点的方法。
《数学文化》
第四讲 数学的魅力
1
你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律； 你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然 的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐 一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层 次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简 洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。
数学，有无穷的魅力！
9
对于这个命题，纯存在性证明的方法，比用构造性证明的方法更可靠。
10
三、圆的魅力
车轮，是历史上最伟大的发明之一 圆，是平面图形中对称性最强的图形 周长与直径之比是一个常数 这个常数是无理数、超越数 面积相等的图形中圆的周长最短 规尺作图“化圆为方”不可作
11
四、“三角形三内角之和等于180度， 这个命题不好”
13
n 边形 n 外角之和 = 360 度
不变量
曲边形
（向量组的秩；矩阵的秩）
14
高斯－博内公式的内蕴式证明 当积分区域是整个闭曲面M时，有
kd = 2π χ（M）
其中k 是高斯曲率，χ（M）是曲面M的欧拉示性数, 2π则
是360°的 弧度制表示。这一高斯－博内公式的左面是一个
由局部性质（曲率）表示的量，但是，公式的右面却只与曲 面整体的拓扑不变量相关。高斯－博内公式的重要意义在于： 它用曲面的局部不变量刻画了整体性质。
这句话是1978年数学大师陈省身先生在北京大学的 一次演讲中说的，后来又多次说过。
所以，这不是随便说的一句话。 陈先生并没有说“三角形三内角之和等于180度，
这个命题不对”，而是说“这个命题不好”。
12
三角形三内角之和 = 180 度 n 边形 n 内角之和 = ？
n 边形 n 内角之和 = 180 度 × ( n – 2 )
到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台 IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证 明了四色猜想。
23
这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时, 当地邮局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOUR COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。
24
拓展了人们对“证明”的理解
5
二、固原市至少有两个人头发根数一样多
“存在性命题” ：固原市中一定存在两个头发根数一 样多的人。
对于存在性命题，通常有两类证明方法： 一类是构造性的证明方法，即把需要证明存在的事
物构造出来，便完成了证明； 一类是纯存在性证明，并不具体给出存在的事物，
而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。
1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个。 1936年弗兰克林将国家的数目提高到31个。 1968年挪威数学家奥雷证明了,不超过40个国家的地图可以
用四种颜色着色。 但是，他们都没有最终证明“四色猜想”。
22
四色问题的解决
直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前 人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。
1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上 发表论文，宣布证明了“四色猜想”。
但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的 证明中有严重错误。
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一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难， 这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。
实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小并不重 要,重要的是它们的相互位置。
16
德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少 要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。
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但德·摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数 学家,其中包括著名数学家哈密顿。
但这个问题当时没有引起数学家的重视。 直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后，
认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在《伦敦数 学会文集》上发表了一篇《论地图着色》的文章,才引起了 更大的注意。
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固原市至少有两个人头发根数一样多
构造性证明 ：
一个一个地去数固原市中所有人的头发根数，一 定可以找到两个具体的人，不妨称之为张三和李四， 他们的头发根数一样多，便完成了证明。
8
固原市至少有两个人头发根数一样多
纯存在性证明 ：
“抽屉原理” 证明“367个人中至少有两个人的生日是相同的” 证明“固原市中一定存在两个头发根数一样多的人”
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一、渔网来自百度文库几何规律
用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片 网，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)，网眼 数(F)，边数(E)都必定适合下面的公式：
V + F– E = 1
3
多面体的欧拉公式
V + F– E =2
4
数学就有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变得简明，把看起来混乱 的事物理出规律。
下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看, 问题的实质在于地图的“拓扑结构”。
20
合理的退让——不得已而求其次
加强命题的条件 或者减弱命题的结论
希伍德证明了“五色定理”
21
一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究,获得 了一系列成果。
1920年弗兰克林证明了,对于不超过25个国家的地图,四色猜 想是正确的。
由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯 和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学 家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
15
五、四色问题
四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年 首先由一位英国大学生F．古色利提出。
他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具有公共 边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。
但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德里 克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰出的英国数学家 德·摩根，希望帮助给出证明。
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例如“任意两个正整数都存在最大公约数” 这个存 在性命题，我们可以用“辗转相除法”给出构造性 的证明，在证明最大公约数存在的同时，也给出了 求最大公约数的方法。(例：（210，1950）= 30 )
再例如“连续函数如果在两个端点反号，则中间一 定存在零点” 这个存在性命题，我们在教材中看到 的和在课堂上听到的，往往是纯存在性证明，证明 了零点的存在，但并不给出找到零点的方法。
《数学文化》
第四讲 数学的魅力
1
你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律； 你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然 的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐 一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层 次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简 洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。
数学，有无穷的魅力！
9
对于这个命题，纯存在性证明的方法，比用构造性证明的方法更可靠。
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三、圆的魅力
车轮，是历史上最伟大的发明之一 圆，是平面图形中对称性最强的图形 周长与直径之比是一个常数 这个常数是无理数、超越数 面积相等的图形中圆的周长最短 规尺作图“化圆为方”不可作
11
四、“三角形三内角之和等于180度， 这个命题不好”
13
n 边形 n 外角之和 = 360 度
不变量
曲边形
（向量组的秩；矩阵的秩）
14
高斯－博内公式的内蕴式证明 当积分区域是整个闭曲面M时，有
kd = 2π χ（M）
其中k 是高斯曲率，χ（M）是曲面M的欧拉示性数, 2π则
是360°的 弧度制表示。这一高斯－博内公式的左面是一个
由局部性质（曲率）表示的量，但是，公式的右面却只与曲 面整体的拓扑不变量相关。高斯－博内公式的重要意义在于： 它用曲面的局部不变量刻画了整体性质。
这句话是1978年数学大师陈省身先生在北京大学的 一次演讲中说的，后来又多次说过。
所以，这不是随便说的一句话。 陈先生并没有说“三角形三内角之和等于180度，
这个命题不对”，而是说“这个命题不好”。
12
三角形三内角之和 = 180 度 n 边形 n 内角之和 = ？
n 边形 n 内角之和 = 180 度 × ( n – 2 )
到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台 IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证 明了四色猜想。
23
这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时, 当地邮局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOUR COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。
24
拓展了人们对“证明”的理解
5
二、固原市至少有两个人头发根数一样多
“存在性命题” ：固原市中一定存在两个头发根数一 样多的人。
对于存在性命题，通常有两类证明方法： 一类是构造性的证明方法，即把需要证明存在的事
物构造出来，便完成了证明； 一类是纯存在性证明，并不具体给出存在的事物，
而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。
1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个。 1936年弗兰克林将国家的数目提高到31个。 1968年挪威数学家奥雷证明了,不超过40个国家的地图可以
用四种颜色着色。 但是，他们都没有最终证明“四色猜想”。
22
四色问题的解决
直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前 人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。