第一类曲面积分

dS
dxdy
25 x2 y2
A1
x2 y2 9
4
3
A1 dS
1
5
2
3
dxdy d
D1xy 25 x2 y 2
S
1 zx2 zy2 d
o
y
Dxy
则 f (x, y, z)dS
x
f [x, y, z(x, y)] 1 zx2 zy2 dxdy;
Dxy
2. 若曲面 : y y(x, z)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x, y( x, z), z] 1 yx2 yz2dxdz;
1
z x2
z
2 y
dxdy
Dxy
或 f [x, y(x, z), z] 1 yx2 yz2 dxdz;
Dxz
或 f [x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 dydz.
Dyz
例1.计算曲面积分 (x2 y2 )dS,其中是锥面
z 3(x2 y2 )被平面z 3所截下的带锥顶的那一部分.
3dxdy
1 1 x
xyzdS xyzdS 30 dx0 xy(1 x y)dy
4
3 120
例3 计算 ( x y z)ds, 其中 为平面
y z 5被柱面x2 y2 25所截得的部分.
解 积分曲面 ：z 5 y ,
投影域 ： Dxy {( x, y) | x2 y2 25}
一、概念的引入
实例 若曲面 是光滑的, 它的面密度为连 续函数( x, y, z), 求它的质量.
所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动.
二、对面积的曲面积分的定义
1.定义 设曲面 是光滑的, 函数 f ( x, y, z) 在
上有界, 把 分成n 小块Si （Si 同时也表示
其中 为抛物面 z x2 y2（0 z 1）.
z
解 依对称性知：
抛物面z x2 y2 关于z轴对称，
被积函数| xyz |关于
xoz、 yoz 坐标面对称
y x
有 4 成立，(1为第一卦限部分曲面)
1
dS 1 zx2 zy2dxdy
1 (2x)2 (2 y)2dxdy
原式 | xyz | dS 4 xyz dS
解 : : z 3(x2 y2 ), Dxy : x2 y2 3(z 0)
zx
3x x2 y2
, zy
3y x2 y2
dS 1 zx2 zy2 dxdy 2dxdy
所以, (x2 y2 )dS 2 (x2 y2 )dxdy
Dxy
2
2 d
3 r3dr 9
0
0
例2计算 xyzdS, 如图示为封闭曲面.
1
4 xy( x2 y2 ) 1 (2x)2 (2 y)2dxdy Dxy
其中Dxy {( x, y) | x2 y2 1, x 0, y 0}
利用极坐标 x r cos t , y r sin t ,
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4
2 dt
1 r 2 cos t sin t r 2
1 4r 2rdr
Dxz
3. 若曲面 ： x x( y, z)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2dydz.
D yz
对面积的曲面积分的计算方法是--------将其 化为投影域上的二重积分计算
小结: 第一类曲面积分的计算步骤: 1.画出曲面的图形,写出的方程(如: z z(x, y)), 并将向某一坐标面投影(xOy面),指出投影区域(Dxy ).
解 : 1 2 3 4
x y z 1
其中1, 2 , 3 为三个坐标面,
4 : x y z 1
在 1, 2, 3 三个坐标面上,被积函数f (x, y, z) 0
xyzdS xyzdS
4
4 : z 1 x y, Dxy : 0 x y 1
dS
1
z
2 x
z
2 x
dxdy
2.求面积的微元dS(dS
1
zx2
z
2 y
d
),
3.将的方程(如: z z(x, y))代入被积函数f (x, y, z)中, 将它变为二元函数( f (x, y, z(x, y))).
4.将一型曲面积分 f (x, y, z)dS化为
二重积分
f (x, y, z)dS f (x, y, z(x, y))
1
2
特别,当f (x, y, z) 1时, 1 dS S(即曲面的面积).
三、计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面 : z z(x, y)
Dxy为在xOy平面上的投影,
函数z(x, y)在Dxy上有连续的偏导数.
z
z f (x, y)
S
o
y
Dxy
x
dS d cos
z
z f (x, y)
0
0
2
2 sin 2tdt
r1 5
1 4r 2dr
令u 1 4r 2
0
0
1 5
41
u(u 1)2 du 125 5 1.
4
420
例5 曲面z 13 x2 y2将球面x2 y2 z2 25 分成三部分, 求此三部分的面积之比.
解: : z 25 x2 y2
5
dS 1 zx2 zy2dxdy 1 0 (1)2dxdy 2dxdy,
故 ( x y z)ds
2 ( x y 5 y)dxdy 2 (5 x)dxdy
Dxy
Dxy
2
5
20 d0 (5 r cos )rdr 125 2.
例 4 计算| xyz | dS ,
第i 小块曲面的面积）,设点(i ,i , i ) 为Si 上
任意取定的点,作乘积
n
f
(
i
,
i
,
i
)
Si
,
并作和 f (i ,i , i ) Si , 如果当各小块曲面
i1
的直径的最大值 0 时, 这和式的极限存在,
则称此极限为函数 f ( x, y, z)在曲面 上对面积
的曲面积分或第一类曲面积分.
记为
f ( x, y, z)dS .
n
即
f ( x, y, z)dS
lim
0 i1
f (i ,i , i )Si
其中 f ( x, y, z)叫被积函数，叫积分曲面.
dS叫做曲面的面积元素 , dS 0.
2.对面积的曲面积分的性质
若可分为分片光滑的曲面 1及2 , 则
f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.