全等三角形的判定(公开课)
12.2全等三角形的判定(sss)(公开课)
八年级数学组
第1页，共18页。
知识回顾
1、 什么叫全等三角形？
2、 全等三角形有什么性质？
A
D
B
C
E
F
第2页，共18页。
探究一： 动手操作：
1.满足一个条件：
①一边：
可以发现按这些条
件画的三角形不 一定全等。
②一角：
60°
60°
第3页，共18页。
60°
动手操作：
第12页，共18页。
2、如图，已知AB＝CD，AD＝CB，
求证：∠B＝∠D
A
B
能说明∠A＝∠C吗？
A
D
B
C
数学转化思想：四
边形转化成三角形
第13页，共18页。
D C
3.如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，
请添加一个条件
，使△ABF≌△ECD。
BF=DC 或 BD=FC
A
E
B DFC
第14页，共18页。
A
D
B
E
C
F
第15页，共18页。
归纳总结：
证明三角形全等的步骤：
(1)准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好； (2)证明三角形全等书写三步骤：
①写出在哪两个三角形中 ②摆出三个条件用大括号括起来
③写出全等结论
第16页，共18页。
作业布置：
v基础训练: P22课堂练习1—5题
2.满足两个条件：
①一边一角：
30°
②两角：
30°50° ③两边：
2cm 4cm
30°
30°
同样可以发现按 这些条件画的三
全等三角形的判定方法SAS公开课获奖课件省赛课一等奖课件
用符号语言体现为： 在△ABC与△DEF中
A
D
AC=DF ∠C=∠F BC=EF
CF
B
E
∴△ABC≌△DEF（SAS）
知识梳理:
A
AA A B
SSA不能 鉴定全等
BBB
CC
DD
B
C A
D
A
E
B
_A_C___=_A__B_(已知)
∴ △AEC≌△ADB（ SAS ）
1.若AB=AC，则添加什么条件可得
△ABD≌ △ACD?
A
△ABD≌ △ACD
B
S
SA
S
AD=AD ∠BABD=C∠DCAD AB=AC
D C
2.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选 用哪些条件可 证得△ACB≌ △ADB
§12.2 三角形全等旳鉴定(二)
知识回忆: 三角形全等鉴定措施1
三边相应相等旳两个三角形全等（能够简写
为“边边边”或“SSS”）。
A
用符号语言体现为：
在△ABC和△ DEF中
B
C
AB=DE
D
BC=EF
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
注重书写格式
三步走： ①准备条件 ②摆齐条件 ③得结论
C A
△ACB≌ △ADB
S
SA
S
B AB=AB ∠CBACB==B∠D DAB AC=AD
D
3.如图:己知 AD∥BC,AE=CF,AD=BC,E、Ｆ都在 直线ＡＣ上，试阐明ＤＥ∥ＢＦ。
A
●
D
●
E F
●
全等三角形的判定边角边-公开课获奖课件省赛课一等奖课件
C
3cm
环节：1.画一线段AC,使它等于
4cm ； 2.画∠ CAM= 45°； 3.以C为圆
心, 3cm长为半径画弧,交AM于点B
4.连结CB 和B’；
、CB’。
A 45°
B
B’ M
△ ABC与△ AB’C 就是 所求做旳三角形。
显然： △ ABC与△ AB’C不全等
结论：两边及其一边所对旳角相等，两个三角形不一定全等。
4.如图,点B,D,C,F在一条直线上,且BC=FD,AB=EF. (1)请你添加一种条件(不再加辅助线),使△ABC≌△EFD,你
添加旳条件是__∠__B__=_∠__F__或__A__B_∥___E_F_或___A_C__=_E__D__ .
(2)添加了条件后,证明△ABC≌△EFD.
解：(2)当∠B=∠F时,在△ABC和△EFD 中,
∴△ABD≌△ABC（SAS.）。
练一练
2. 如图所示, 根据题目条件，判断下面 旳三角形是否全等．
（1） AC＝DF， ∠C＝∠F， BC＝EF； （2） BC＝BD， ∠ABC＝∠ABD．
答案: (1)全等
(2)全等
做一做
以3cm、4cm为三角形旳两边，长度 3cm旳边所正确角为45° ，情况又怎样？ 动手画一画，你发觉了什么？
三角形全等旳鉴定 ——边角边
复习：全等三角形旳性质
若△AOC≌△BOD， 相应边: AC= BD ，
AO= BO ， CO= DO ，
A
D
O
C
B
相应角有: ∠A= ∠B ， ∠C= ∠D ， ∠AOC=∠BOD ;
我们对四种情况分别进行讨论。前一节课我们已
经讨论过“边边边”这种情况了，今日我们再来讨论 两个三角形有两条边和一种角分别相应相等，那么这 两个三角形一定全等吗？又有几种情况呢？
三角形全等判定(1)公开课
2、 全等三角形有什么性质？ 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
在小明家的衣橱 门上镶有几块全等 的三角形玻璃装饰 物, 其中一块被打 碎了, 现在小明妈 妈要小明去玻璃店 配一块回来, 那应 该怎么办?
人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册
一个顶点都在格点上的△ABC，且使
△ABC≌△DEF。
E
D
F
同学们，生活中时时刻刻有数 学，事事有数学，数学来源于 生活，应用于生活，因此，我 们应该多用数学的眼光去看身 边的世界，并用数学改变世界。
证明全等的一般书写步骤：
BC EF
在ABC与DFE中
（1）准备条件：先证好要用的间接条件
（2）三角形全等书写三步： ①写出在哪两个三角形中
AB DF
∵
AC
DE
②摆出三个条件用大括号括起来 BC EF
③写出全等结论
ABC DFE(SSS)
3、如图，AB=DF，AC=DE，BE=CF。AC与DE
A
D
B
C
工人师傅常用角尺平分一个任意角。
做法如下：如图：∠AOB是一个任意 角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移 动角尺，使角尺两边相同的刻度分别 与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC 便是∠AOB的平分线。为什么？
如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小
正方形的顶点（格点）上，请你在图中再画
的位置关系是什么？并说明理由。
解：AC // DE
A
D
理由如下：
B
E
∵ BE CF BE CE CF CE
C
F BC EF
D
直角三角形全等判定_公开课
M A
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=4cm; Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B; Step4:连结AB; △ABC即为所要画的三角形 ABC
N B
M
A
C
动动手 做一做 比比看
把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看， 把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看， 这些直角三角形有怎样的关系呢？ 这些直角三角形有怎样的关系呢？
直角三角 形全等的 判定
“ SAS ” “ ASA ” “ AAS ” “ SSS ” “ HL ”
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
应用
证明：∵AD是高 证明： 是高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∴∠ ∠ ° 在Rt△ADB和Rt△ADC中 △ 和 △ 中 AB=AC AD=AD ∴ Rt△ADB≌Rt△ADC（HL） △ ≌ △ （ ） ∴BD=CD,∠BAD=∠CAD ∠ ∠
A
{
等腰三角形三线合一
B
D
C
例2Байду номын сангаас
已知：如图 在 已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD, 和 中 ⊥ ⊥ 垂足分别为C,D,AD=BC,求证： △ABC≌△BAD. 求证： 垂足分别为 求证 ≌
B
P D
C
E
Q
F
分析： 分析： △ABC≌△DEF ≌
∠BAC=∠EDF, AB=DE,∠B=∠E ∠ ∠ ∠
Rt△ABP≌Rt△DEQ △ ≌ △
AB=DE,AP=DQ
证明： 证明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高 、 是 和 的高 ∴∠APB=∠DQE=90° ∴∠ ∠ ° 在Rt△ABP和Rt△DEQ中 △ 和 △ 中 AB=DE AP=DQ
直角三角形全等的判定【公开课教案】
第2课时直角三角形全等的判定1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”；(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点：直角三角形全等的判定【类型一】应用“HL”证明三角形全等如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.解析：由题意可得△ABF与△DCE都为直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后运用“HL”即可判定Rt△ABF与Rt△DCE全等．证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF＝CE，AB＝CD，∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．方法总结：利用“HL”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．【类型二】利用“HL”证明线段相等如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.解析：根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，得CD＝EF，再根据“HL”证Rt△ABD ≌Rt△ABF，得BD＝BF，最后证明BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC 和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD ＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决．直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．【类型三】利用“HL”证明角相等如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2.方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型四】 利用“HL ”解决动点问题如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝20，BC ＝10，PQ ＝AB .P ，Q 两点分别在线段AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AM 上运动，且点P 不与点A ，C 重合．那么当点P 运动到什么位置时，才能使△ABC 与△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：①Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝10，可据此求出P 点的位置．②Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合，不合题意．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：①当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°，∴在Rt △ABC 与Rt △QP A 中，AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QP A (HL)，即AP ＝BC ＝10；②当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC ，不合题意．综上所述，当点P 运动到距离点A 为10时，△ABC 与△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型五】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：已知BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)，∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL ”外，还有SSS 、SAS 、ASA 、AAS.三、板书设计 1．作直角三角形2．直角三角形全等的判定斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识.第2课时平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离1．复习并巩固平行四边形的判定定理1、2；2．学习并掌握平行四边形的判定定理3，能够熟练运用平行四边形的判定定理解决问题；(重点)3．根据平行四边形的性质总结出求两条平行线之间的距离的方法，能够综合平行四边形的性质和判定定理解决问题．(重点，难点)一、情境导入小明的父亲的手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？你能想出几种办法？二、合作探究探究点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形【类型一】利用平行四边形的判定定理(3)判定平行四边形已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO ＝BO，E、F分别是OC、OD 中点．求证：(1)△AOC≌△BOD；(2)四边形AFBE是平行四边形．解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF就可以了．证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC和△BOD中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AO＝OB，∠AOC＝∠BOD，∠C＝∠D，∴△AOC≌△BOD(AAS)；(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF ＝12OD，OE＝12OC，∴EO＝FO，又∵AO ＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键．【类型二】利用平行四边形的判定定理(3)证明线段或角相等如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E，F分别是OA，OC 的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF，BE∥DF.解：BE＝DF，BE∥DF.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB ＝OD.因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE＝OF，所以四边形BFDE是平行四边形，所以BE＝DF，BE∥DF.方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．探究点二：平行线间的距离如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO 的面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH ＝12GH ·h，S△FGH ＝12GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴S△EGO＝S△FHO.方法总结：解题的关键是明确三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分，同底等高的两个三角形的面积相等．探究点三：平行四边形判定和性质的综合如图，在直角梯形ABCD中，AD ∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG.(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；(2)如果点G是BC的中点，且BC＝12，DC＝10，求四边形AGCD的面积．解析：(1)求出平行四边形AGCD，推出CD＝AG，推出EG＝DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可；(2)由点G是BC的中点，BC＝12，得到BG＝CG＝12BC ＝6，根据四边形AGCD是平行四边形可知AG＝DC＝10，根据勾股定理得AB＝8，求出四边形AGCD的面积为6×8＝48.解：(1)∵AG∥DC，AD∥BC，∴四边形AGCD是平行四边形，∴AG＝DC.∵E、F分别为AG、DC的中点，∴GE＝12AG，DF＝12DC，即GE＝DF，GE∥DF，∴四边形DEGF是平行四边形；(2)∵点G是BC的中点，BC＝12，∴BG＝CG＝12BC＝6.∵四边形AGCD是平行四边形，DC＝10，AG＝DC＝10，在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB＝8，∴四边形AGCD的面积为6×8＝48.方法总结：本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，掌握定理是解题的关键．三、板书设计1．平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；2．平行线的距离；如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离．3．平行四边形判定和性质的综合．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行，在探究两条平行线间的距离时，要让学生进行合作交流．在解决有关平行四边形的问题时，要根据其判定和性质综合考虑，培养学生的逻辑思维能力.。
全等三角形判定复习-ppt公开课课件
课堂小结
边角边公理 角边角公理 边边边公理 角角边公理
作业：课本P115 1~8
小结
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
角角边公理（AAS）
有两角和其中一角的对边对 应相等的两个三角形全等
小结
课前热身
已知：如图，AB=DC，AD=BC. 求证： ∠A= ∠C.
例1
已知：如右图，AB、CD相交于点O， AC∥DB,OC = OD, E、F为 AB上两点，
且AE = BF. 求证：CE=DF.
A
C
E
F
D
.
例2
A
如右图， 已知：AB=AD，CB=CD.
求证：AC⊥BD.
B
O
D
C
已知：△ABC的顶点和△DBC 的顶点A和D在BC的同旁, AB =DC, AC = DB, AC和DB相交 于点O.
求证：OA =OD.
练习一
继再 续接 学再 习厉 新， 知让 识我 吧们
教学重难点
教学重点：能让学生选择适当判定方法 判定两三角形全等。
教学难点：培养学生有条理的分析、推 理能力，并写出证明过程。
前面的知识你忘记了吗？
让我们一起来 复习一下吧
我们学过几种三角形的全等判定呢？（4种）
边角边公理 角边角公理 边边边公理 角角边定理
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济法权益
三角形全等的判定定理SAS市公开课一等奖省优质课获奖课件
假如在△ABC和△ A′B′C′中，
∠ B＝∠B′， AB ＝ A′B′，BC ＝ B′C′ △ABC 与△ A′B′C′全等吗？
1.假如△ABC和△ A′B′C′位置关系如图所表示, △ABC和△ A′B′C′全等吗？
A′ A
A (A′)
C′
B (B′)
C B (B′)
C (C′)
第2页
2.假如△ABC和△ A′B′C′位置关系如图所表示, △ABC和△ A′B′C′全等吗？
A
A′
C′
B
C B′
第3页
3.假如△ABC和△ A′B′C′位置关系如图所表示, △ABC和△ A′B′C′全等吗？
A
B′C′B源自C A′第4页判定三角形全等方法：
边角边定理 有两边和它们夹角对应相等
两个三角形全等（“边角边”或“SAS”）.
第5页
例1
如图，AO＝BO，CO＝DO，试问△ ACO和△ BDO全等吗？
解 选择地点O，从O处能够看到
A处与B处.连结AO并延长至A′，
使OA′＝AO；连结BO并延长至B′，
使OB′＝BO.连结A′B ′.
A
B
在△AOB和△ A′OB′中，因为
O
B′
A′
第7页
所以 于是得
AO＝ A′O ∠AOB＝ ∠A′OB ′ BO＝B′O △AOB≌△ A′OB′
A′B′ ＝ AB
A
B
所以A′B′长度就是这座大山
A处与B处距离.
O
B′
A′
第8页
动脑筋
你还能想出其它方案，来测量A、B
两处距离吗？
第9页
探究
画△ABC使∠B＝45°， AB＝3cm， AC＝２.５cm，比较各位同学画△ABC ， 它们全等吗？你能得出什么结论？
直角三角形全等的判定课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
第11页
做一做
如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使△ABC≌△BDA, 还需要增加一个什么条件?把它们分别写出来.
增加AC=BD;
C
D
增加BC=AD;
增加∠ABC=∠BAD ;
增加∠CAB=∠DBA ;
由例题你得到了什么结论
第9页
角内部，到角两边距离相等点 ，在这 个角平分线上
练习1如图，在Δ ABC中，D是BC中点，DE ┴ AB于E，DF ┴ AC于F，且DE=DF，则AB=AC。 说明理由。 解∵ DE ┴ AB，DF ┴ AC（已知） ∴ ∠ BED= ∠ CFD=RT ∠ （垂直意义） ∵ DE=DF（已知） ∵ BD=CD（中点意义） ∴ RT Δ BDE ≌ RT Δ CDF（HL） ∴ ∠ B= ∠ C（全等三角形对应角相等） ∴ AB=AC（等角对等边）
学习目标
• 1.会用“HL”判定两个直角三角形是否全等。 • 2.已知斜边及一直角边，会用尺规画直角三角形。 • 学习重点： • 了解直角三角形全等特殊方法“HL”。并会应用。 • 学习难点： • 已知斜边及一直角边长，画直角三角形。
第2页
抢答
1、全等三角形对应边 ----相---等--,，对应 角----相---等---2、判定三角形全等方法有：
c
一直角边CB=a，斜边AB=c.
分析：首先作出边BC,由∠C为直角能够作出另 一直角边所在射线，由AB=c能够确定点A。
第7页
a
c
画法：1.画∠MCN=90 °.
N
2.在射线CM上取CB=a.
A
公开课三角形全等的判定HL课件
THANKS
感谢观看
05
总结与回顾
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
HL判定定理的重要性和应用价值
三角形全等判定定理的基石
HL（Hypotenuse-Leg）判定定理是三角形全等判定的重 要定理之一，它在几何学中占有重要地位，是解决三角形 全等问题的关键。
实际应用广泛
在日常生活和实际工程中，经常需要用到三角形全等的判 定。通过HL定理，可以快速准确地判断两个三角形是否全 等，从而为解决实际问题提供有力支持。
ERA
HL判定定理的来源
三角形全等是几何学中的重要概念， 用于判断两个三角形是否完全相同。
HL判定定理的起源可以追溯到古希腊 数学家欧几里得，在他的著作《几何 原本》中，提到了与HL判定定理类似 的判定方法。
HL判定定理是三角形全等判定的一种 方法，其名称来源于英文 “Hypotenuse-Leg”的缩写，意为 “斜边-直角边”。
如果两个三角形的两边长度相等，且 这两边所夹的角相等，则这两个三角 形全等。
角边角相等（ASA）
如果两个三角形有两个角分别相等， 且这两个角所夹的一边长度也相等， 则这两个三角形全等。
角角边相等（AAS）
如果两个三角形有两个角分别相等， 且这两个角所对的一边长度也相等， 则这两个三角形全等。
三角形全等的应用
数学教育的核心内容
在数学教育和教学中，HL定理是几何学的重要知识点，对 于培养学生的逻辑思维、空间想象力和问题解决能力具有 重要意义。
HL判定定理的学习方法和技巧
理解定理的内涵
多做练习题
首先需要深入理解HL定理的内涵和适用条 件，掌握“直角边斜边”的基本形式，明 确两三角形全等的充分必要条件。
全等三角形的判定ASA公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
1
2
已知： ∠1＝ ∠2， ∠E= ∠C, AC=AE求证：AB=AD ∠B＝ ∠D
证明： ∵ ∠1＝ ∠2∴ ∠1＋ ∠EAC= ∠2+ ∠EAC∴ ∠BAC= ∠DAE
在△BAC和 △DAE中 ∠BAC= ∠DAE AC=AE∠C= ∠E∴△ BAC ≌△ DAE （ASA） ∴AB=AD(全等三角形旳相应边相等） ∠B＝∠D (全等三Байду номын сангаас形旳相应边相等)
例3：已知:BECF在同一直线上, AB ∥DE, AC∥DF,而且BE=CF求证: △ ABC≌ △ DEF
解∵ AB ∥DE ∴ ∠B=∠DEF ∵ AC∥DF ∴ ∠F=∠ACB
在△ ABC和 △ DEF中
∵ BE=CF∴ BE+CE=CF+EC 即BE=CF
在△ABC与△DEF中
｛
BC=EF(已证)
∠B=∠E(已证)
∠ACB=∠DFE(已证)
∴△ABC≌△DEF(ASA)
∴AB=DEAC=DF(全等三角形相应边相等)
例5已知: 如图 , ∠1＝∠2 , ∠3＝∠4 求证: AD = AC
A
D
C
B
3
∴ △ABD ≌ △ABC (ASA)∴ AD = AC (全等三角形旳相应边相等)
由此题第二问你能得出什么结论？
图形变形：
B
E
D
C
A
证明 ：在△ABC和△ADE中 ∠A=∠A（公共角） AC=AE（已知） ∠C=∠E（已知） ∴△ABC≌△ADE（ASA）∴AB=AD（全等三角形旳相应边相等）又∵AE=AC（已知）∴BE=DC（等式性质）
三角形全等的判定—1st
一张教学用旳三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来一样大小旳新教具？能恢复原来三角形旳原貌吗？
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∴BD=CD
B
C
D
在△ABD与△ACD中
AB=AC（已知） BD=CD（已证） AD=AD（公共边） ∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠B=∠C.
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先 证好；
②三角形全等书写三步骤： 写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论
看 谁
④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E
③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
思考：
1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△ DEF吗？
2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证 △ABC ≌△ DEF吗?
1.只给一个条件
1.只给一条边时；
3㎝ 3㎝
2.只给一个角时；
45◦
45◦
结论:只有一条边或一个角对应相等的 两个三角形不一定全等.
探索三角形全等的条件
3.如果满足三个条件，你能说出有 哪几种可能的情况？
①三角； ②三边；
③两边一角；
④两角一边。
⑴三个角
已知两个三角形的三个内角分别为30°， 60° ，90° 它们一定全等吗？
这说明有三个角对应相等的两个三角形 不一定全等
⑵三条边 已知两个三角形的三条边都分别为3cm、
4cm、6cm 。它们一定全等吗？
§12.2 三角形全等的判定(一)
A E
B
FC
1、 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角
A
D
B
①AB=DE ④ ∠A= ∠D
C
E
② BC=EF
⑤ ∠B=∠E
F
③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
A
B
C
①AB=DE ② BC=EF
角形不一定全等.
③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时
30◦ 45◦
30◦
45◦
结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定， 所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等
两个条件 一个条件 ①两角； ①一角； ②两边；
②一边； ③一边一角。
结论：只给出一个或两个 条件时，都不能保证所画 的三角形一定全等。
B
CE
F
在△ABC与△DEF中
AB=DE
AC=DF
BC=EF ∴△ABC≌△DEF（SSS）
证两 明个 三三 角角 形形 全全 等等 。的
推 理 过 程
，
例1 如图, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A
与BC中点D的支架，求求证证：：△∠ABB=D∠≌C△.ACD
A
证明：∵D是BC的中点
3cm
4cm
6cm
4cm 6cm
6cm 4cm
3cm
3cm
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A’B’C’ ,使 A’B’= AB ,B’C’ =BC, A’ C’ =AC.把画好的 △A’B’C’剪下，放到△ABC上，他们全等吗？ 画法:
1.画线段 B’C’ =BC;
2.分别以 B’ ， C’为圆心,BA,BC为半径画弧, 两弧交于点A’;
2.如果满足两个条件，你能说出 有哪几种可能的情况？
①两边； ②一边一角；
③两角。
①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时
4cm
4cm
6cm
6cm
结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.
②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:
30◦ 4cm
30◦ 4cm
结论:一条边一个角对应相等的两个三
3. 连接线段 A’B’ ， A’C’ .
上述结论反映了什么规律？来自边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等。
简写为“边边边”或“SSS”
注： 这个定理说明，只要三角形的 三边的长度确定了，这个三角形的形状 和大小就完全确定了，这也是三角形具 有稳定性的原理。
叫判
A
D
做断
?
如 何 用 符 号 语 言 来 表 达 呢
爱国： 不用量角器，你能画出一个和∠A一样大的角吗？
最
聪
明 为民：
搞笑了吧，不用量角器你能画角？.....
？
我
这都不是事，等你们学习完了三角形全等的判定公理...
• 谢谢观看。 • 祝老师们身体健康。 • 祝同学们学习更上一层楼。