D10_1二重积分概念

4 ( x y ) d x d y
2 2 D1
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四、曲顶柱体体积的计算
设曲顶Байду номын сангаас的底为
y 2 ( x)
z f ( x, y ) z
1 ( x) y 2 ( x) D ( x, y ) a xb
任取 截面积为 故曲顶柱体体积为 平面 截柱体的
0
dy
[sin y cos y ] d y
0
cos y sin y
π 2
0
2
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4. 证明:
解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有
其中D 为
y 1
D
O
1x
1 ( sin x 2 cos y 2 ) d ( sin y 2 cos x 2 ) d 2
2，4，5
1(1), 8
第二节 目录
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备用题
1. 估计 I
D 2
d
2
x y 2 xy 16 0 x 1, 0 y 2. 1 解: 被积函数 f ( x, y ) 2 ( x y ) 16 D 的面积 2
D D
引例2中平面薄板的质量:
M ( x, y ) d ( x, y ) d x d y
D D
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二重积分存在定理: (证明略)
定理1. 若函数 在D上可积. 定理2. 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,
积分性质5
y
O
10
D
10
x
10
200 200 I 102 100
即: 1.96 I 2
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例3. 判断积分 解: 分积分域为 D1 , D2 , D3 , 则
原式 =
的正负号. y
D3
D2
D
3
1 x y d x d y
2 2
3 D2
O 1
舍去此项
32 x
1
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同样, 曲顶柱的底为
D ( x, y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d
则其体积可按如下两次积分计算

y d V f ( x, y ) d x 2 ( y) D x 1 ( y) d 2 ( y) f ( x, y ) d x ] d y y [ 1 ( y ) c c 记 作 O x
D D

1 ( sin x 2 cos x 2 ) d ( sin y 2 cos y 2 ) d 2
D D
( sin x 2 cos x 2 )d
D
又 D 的面积为 1 ,
故结论成立 .
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作业
P135
P152
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如果 f ( x, y ) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划 分区域 D , 这时 因此面积 y 元素d也常记作 d x d y, 二重积分记作
D f ( x, y) dx d y.
引例1中曲顶柱体体积:
O
x
V f ( x, y ) d f ( x, y ) d x d y
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例4. 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为
x2 y2 R2 , x2 z 2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2
z
R
O
0 y R2 x2 ( x, y ) D : 0 xR 则所求体积为
D
k
中任取一点
则
Vk f ( k , k ) k
3)“近似和”
n
(k 1, 2 ,, n)
f ( k , k ) k
k 1
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4)“取极限”
( k ) max P P2 P ,P2 k 1 1
令 max ( k )
3)“近似和”
y
( k , k ) k
k 1 n
4)“取极限”
令 max ( k )
1 k n
O x ( k ,k ) k
M lim ( k , k ) k
0 k 1
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n
两个问题的共性：
在有界闭区域 D上连续, 则
x2 y2 0 x 1 y 在D: 例如, f ( x, y ) 1 x y 0 y 1 1 上二重积分存在 ; 但 f ( x, y ) 在D 上 O x y 二重积分不存在 .
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积.
D 1x
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三、二重积分的性质
1. k f ( x, y )d k f ( x, y ) d ( k 为常数)
M
若
非常数 , 仍可用 “大化小, 常代变,近似和, 求极限” 解决.
y
D
1)“大化小”
O
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1, 2 , , n , 相应把薄片也分为小块 .
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2)“常代变”
在每个 k 中任取一点 ( k ,k ),则第 k 小块的质量
0 i 1
n
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
3. 曲顶柱体体积的计算 二次积分法
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思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I2
I3
1 1

1 1
x y 1

xy d x d y
xy d x d y
y
1 1
x
解: I1 , I 2 , I 3 被积函数相同, 且非负,
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” (2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积:
V lim f ( k , k ) k
0 k 1
n
n
平面薄片的质量:
M lim ( k , k ) k
0 k 1
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二、二重积分的定义及可积性
D
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例2. 估计下列积分之值 d xd y I 100 cos 2 x cos 2 y D
D : x y 10
解: D 的面积为 (10 2) 2 200 由于 1 10 1 1 2 2 102 100 cos x cos y 100
D
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7.(二重积分的中值定理)
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点
在闭区域D上
使
D f ( x, y)d f ( , )
证: 由性质6 可知, 1 min f ( x, y ) f ( x, y ) d max f ( x, y )
D

求其体积.
解法: 类似定积分解决问题的思想:
“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”
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1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2 , , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 小曲顶柱体 2)“常代变” 在每个
f ( k , k )
( k , k )

x2 y 2 1d x d y
D1
猜想结果为负
d x d y
D1
但不好估计 .
π 3 2 π (4 3) π (1 3 2) 0
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在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 8. 设函数 y D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上 (1) f ( x , y) f ( x, y), 则 D
D
D
由连续函数介值定理, 至少有一点 1 f ( , ) f ( x, y ) d
使

D
因此
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例1. 比较下列积分的大小:
D ( x y)
2
d ,
D ( x y)
3
d
y
其中 D : ( x 2) 2 ( y 1) 2 2
D
f ( x, y ) d 2
D1
f ( x, y ) d
D O
1
x
(2) f ( x , y) f ( x, y), 则 f ( x, y ) d 0
D
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍
有类似结果. 在第一象限部分, 则有
D ( x y) d x d y 0
第十章
重 积 分
一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、引例
第十章
二、二重积分的定义与可积性
三、二重积分的性质
四、曲顶柱体体积的计算
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一、引例
1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xOy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面
D
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面
R
y
R2 x2
x2 z 2 R2 x
R2 x2 d x
0
8 8
R 0
R
0
dy
16 3 (R x ) d x R 3
2 2
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内容小结
1. 二重积分的定义
D
f ( x, y ) d lim f ( i ,i ) i (d dxd y )
定义: 设 f ( x, y ) 是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点 若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f ( x, y ) 可积 , 称 I 为 f ( x, y ) 在D上的二重积分.
积分和 积分表达式
x, y 称为积分变量
积分域 被积函数 面积元素
由它们的积分域范围可知
I 2 I1 I 3
O
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2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
I1 y x d ,
3 D
I 3 y
D
1
2 x3 d
的大小顺序为 ( D ) ( A) I1 I 2 I 3 ;
( B ) I 2 I1 I 3 ; ( D ) I 3 I1 I 2 .
2 1 2
(C ) I 3 I 2 I1 ;
提示: 因 0 < y <1, 故 y y y
;
y
1
又因 x 3 0, 故在D上有
y
1 2 x3
D
O x
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y x3 y 2 x3
3. 计算
解:

cos( x y) 0
π 2
π 2
π 2
1 k n
n

f ( k , k )
( k , k )
k
V lim f ( k , k ) k
0 k 1
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2. 平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D , 其面密 度为 计算该薄片的质量 M .
设D 的面积为 , 则
解: 积分域 D 的边界为圆周 它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线
1
D
O 1 2 3 x x y 1
而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而
( x y) ( x y)
2
3

D
( x y ) 2 d ( x y )3 d
D D
3. f ( x, y )d D f ( x, y ) d D f ( x, y ) d
D
1 2
为D 的面积, 则
D 1 d D d
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5. 若在D上 f ( x, y ) ( x, y ) , 则
y
D
O
a x0 b x y 1 ( x)
V f ( x, y ) d A( x)d x
D
a
b
[
b 2 ( x)
a 1 ( x )
f ( x, y ) d y ] d x d x
a
记 作 b
2 ( x) 1 ( x )
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f ( x, y ) d y
D f ( x, y) d D ( x, y) d
特别, 由于 f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y )

6. 设 则有
D f ( x, y) d

D
f ( x, y ) d
D 的面积为 ,
m f ( x, y ) d M