垂径定理

垂径定理》教学设计

一．教学任务及对象分析：

1. 教材分析：

本节是鲁教版九年级下册第五章第三节的内容，研究的是圆的一个重要定理———垂径定理，它探究的是垂直于弦的直径与弦以及弦所对的两条弧之间的关系，是以后在证明圆中线段相等，角相等，弧相等，以及直径与弦垂直有关问题的重要依据，也是在圆中进行有关计算的重要依据，所以本节课的内容在本章的学习中有着举足轻重的作用。

2. 学生情况分析：

学生已经学过轴对称的有关知识，有能力通过轴对称来探索垂径定理；学生也学过全等三角形以及等腰三角形的有关知识，所以容易将垂径定理的推理过程表达清楚。并且在平时的学习过程中，学生已经掌握探究图形性质的手段和方法，具备几何定理的分析，探索和证明的能力。

二．教学目标分析：

1. 知识与技能：探索并证明垂径定理；会运用垂径定理进行有关证明和计算

2. 过程与方法：学生通过动手操作，认真观察，培养学生分析问题和解决问题的能力；通过垂径定理的探索和证明发展学生的推理能力。

3. 情感态度与价值观：在教学过程中，培养学生的合作精神，严谨的学习态度，并对学生进行爱国教育，增强民族自豪感。

三．教学重难点分析：

教学重点：垂径定理以及推论的探索与证明，利用垂径定理以及推论解决有关问题。

教学难点：证明垂径定理与推论的推理过程。

四．教学策略：直观演示，引导发现，合作学习

五．教学设计：

第一环节：情境导入，激疑引趣：

出示赵州桥图片：

它的桥拱是圆弧形，它的跨度为37.4m，拱高为7.2m，求桥拱所在圆的半径？

学生活动：思考1分钟，小组成员交流一下经验。

教师活动：学习完本节课的内容，这个问题就很容易解决。

设计意图：1.对学生进行传统文化教育，产生民族自豪感。

2.引出本节课的学习内容，让学生感受生活中处处有数学，数学来源于生活，又服务于生活。

第二环节：尝试诱导，发现定理：

1.定理的引出：

教师活动：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M

（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。

拿出你做好的纸片，折一折，你会有什么发现？

学生活动：小组活动，折叠手中的纸片，观察图中的等量关系。

设计意图：学生通过亲自动手操作，直观的得出结论，便于理解。

教师活动：同学们根据刚才的发现，将下面这句话补充完整：

_________弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧。

学生活动：思考一分钟，找学生回答。

教师活动：这就是圆的一个重要性质-------垂径定理，请同学们理解这一定理，并回答以下问题：

1．把这一定理改写成“如果……，那么……”的形式，应怎样表述？

2．条件中的弦，可以是直径吗？

3．结论中的“平分弧”是指哪条弧？

4．你能用数学语言来描述垂径定理吗？

学生活动：先独立思考3分钟，再在小组中交流，最后在班级展示。

设计意图：目的是提高学生的数学理解能力。

教师活动：垂径定理也能够运用数学推理进行证明，请同学们对照上图，写出“已知，求证”并进行证明。

学生活动：在导学案上完成上题。

教师活动：请同学们阅读课本第14页定理的证明部分，对照你的证明过程，看方法是否相同，你的证明过程是否合理？有什么不足？

学生活动：对照课本，研究自己的解题过程存在的不足，然后小组合作，互帮互助，解决疑难。

2.推论的引出：

教师活动：如图，AB是⊙O的一条弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M，回答下列问题：

1. 此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

2. 在上图中，你能发现哪些等量关系，和位置关系？说一说理由。

预设：学生可以通过折叠来发现，也可以用数学推理来证明，只要合理，都可以。

3. 题目中，为什么要强调“AB不是直径”，若AB是直径不能得出第1,2题的结论吗？请画图分析。

学生活动：引导学生画出下图，分析“AB不是直径”的原因。

4. 同学们能试着将以上的发现用语言描述出来吗？

学生活动：先思考一分钟，然后找学生在班级进行展示。

设计意图：培养学生的观察能力，数学理解能力以及严谨的学习态度。

第三环节：例题示范，变式练习

教师活动：请同学们阅读课本例题，并且回答在解题过程中使用了哪些解题方法？

学生活动：看例题，总结题目中用到的解题方法，组内交流。

设计意图：培养学生的自学能力，观察能力，引出在垂径定理的应用中，经常会使用列方程的方法。

变式练习教师活动：1.你还记得我们提出的赵州桥有关的问题，试一试，你是否可以解决了？

学生活动：在导学案上完成此问题。

设计意图：让学生体会将数学运用于生活的喜悦，呼应上课开始提出的问题。

2.如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值。

4. 如图，两个圆都以O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？

设计意图：对垂径定理的基本应用，培养学生的数学运用

拓展提高：如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹得两条弧相等吗？为什么？

设计意图：为学有余力的学生准备的题目，感受分类讨论的数学思想。

课堂反馈：

1. 谈体会：通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些疑惑？

2. 小测验：已知AB是圆O的弦，半径OA=20cm,∠AOB=120°，求△AOB的面积

布置作业：

必做题：课本第16页习题5.4第1题

选做题：根据垂径定理的内容，交换条件和结论的位置，你还能写出几个正确的命题吗？