二阶电路的零输入响应,零状态响应及全响应

两个共轭复根
欠阻尼
根据上述情况，讨论方程的根及其对应的物理意义。
6
1）R 2 L C
两个互异负实根 uC A1e p1t A2e p2t
代入初值：uC(0＋) = U0，ddutC t0 0，得到：
A1 A2 U0 p1A1 p2 A2
0
联立解得：
A1
p2U 0 p2 p1
A2
i C duC dt
以电容电压为变量：
LC
d2uC dt
RC
duC dt
uC
0
以电感电流为变量： LC d2i RC di i 0
dt
dt
4
以电容电压为变量时的初始条件：
uC(0+)=U0 i(0+)=0
duC 0 dt t0
以电感电流为变量时的初始条件：
i(0+)=0 uC(0+)=U0 uL (0 ) uC (0 ) U0
令 R — 衰减系数
2L
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0 sin 0 cos p1 j 0 cos j0 sin 0e j p2 j 0 cos j0 sin 0e j
9
p1 j 0e j p2 j 0e j
US
特征方程为:
uC uC uC
LCp2 RCp 1 0
特解
通解 特解: uC US
16
uC解答形式为：
uC
US
A1e
pt 1
A2e
pt 2
( p1 p2 )
uC US A1e t A2te t ( P1 P2 )
uC US Ae t sin(t ) (P1、2 j)
作业：7-21 7-22
24
p1,2 j
1 LC
1
方程的解：
j1t
j 1 t
uC A1e LC A2e LC
代入初值uC(0+) = U0，则 A1 A2 U0
duC dt
t 0
1 C
i(0
)
0
联立解得：
A1
A2
U0 2
A1 A2 0
uC
U0 2
j
e
1t
j
LC e
1 LC
t
U0
cos
1 t LC
uL
L
di dt
U00
e t
sin( t
)
uL
衰减振荡放电 欠阻尼现象
10
uc U0
能量转换关系：
iC
0 - 2- 2
t
+
+
+
C -
L- C
L- C
L
R
0 < t <
R
R
< t < - - < t <
11
uC
U 00
e t
sin( t
)
i U0 e t sin( t) L
ω0
§7-5 二阶电路的零输入响应
1. LC电路中的正弦振荡
(t=0) i
已知uC(0–) = U0, i(0–) = 0，
+ C uC
-
求uC(t), i(t), t 0
+
uL L 方程： uC uL
-
uL
L
di dt
i C duC dt
以电容电压为变量：
LC
d2uC dt 2
uC
0
特征方程： LCp2 1 0
iL (0 )
100Acos 100Asin 0 uL (0 )
45
A 2
iL 1 2e100t sin(100 t 45 )
19
50
(5)求iR
+ R iR iL
50 V
-
0.5H
50
100F
iR
iL
iC
iL
LC
d 2iL dt 2
或设解答形式为：
iC iR 1 Ae100t sin(100t )
振荡，也称阻尼振荡。
若电阻过大，储能在初次转移即被消耗，称过阻尼
情况（无振荡）。
3
2.RLC串联电路的零输入响应
(t=0) R L i
已知uC(0–) = U0, i(0–) = 0，
+ uL C
求uC(t), i(t), uL(t), t 0
+ uC
方程：
Ri uL uC 0
-
uL
L
di dt
二阶
C
电路
uC Ae t sin(t )
由初始条件
uC (0 )
duC dt
(0
)
定常数
15
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应
例 uC(0－)=0 , iL(0－)=0
+ R iL
- US (t)
L
+
uC- C
微分方程为：
LC
d 2uC dt
RC
duC dt
uC
i C duC dt
U0
C sin L
1 t LC
2
uC(t) U0
o U0 i(t)
Im o
Im
+ C uC
-
结论：两种不同性质储能
元件构成的电路，储能在电
t
场和磁场之间往返转移，这
种周而复始的过程称为“振
t 荡”。
i
若元件为理想的，称等幅
振荡；若电路中存在电阻，
L 幅度逐渐衰减为零，称衰减
0 欠阻尼， 振荡放电 uC Ae t sin( t )
22
3.求二阶电路全响应的步骤
(a)列写t >0+电路的微分方程
(b)求通解
(c)求特解
(d)全响应=强制分量+自由分量
f (0 )
(e)由初值 df
定常数
dt (0 )
23
下次课内容：
§7-7 一阶和二阶电路的阶跃响应 §7-8 一阶和二阶电路的冲激响应
A 2
21
小结 1.二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常
微分方程所描述的电路。
2.二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决 于电路结构和参数，与激励和初值无关。
p 2 02
0
过阻尼， 非振荡放电
uC
A1e
pt 1
A2
e
pt 2
0 临界阻尼， 非振荡放电 uC A1e t A2te t
ω
R
2L
02 2
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uC
uL
U
0
sin(0t
2
)
i
C L
U
0
sin(
0t
)
等幅振荡 无阻尼现象
12
电路的振荡
强迫振荡：外施激励引起 us (t) Um cosst 激励的频率决定各响应的频率
自由振荡：电路自身决定
uL
L
di dt
U0 p2 p1
( p1e p1t
p2e p2t )
设 |P2|>|P1|，画出电压电流波形
0
tm 2tm
p1U 0 e p2t p2 p1
uL 过阻尼
0 < t < tm t
C
LC
t > tm
L
非振荡放电
R
R
8
2） R 2
L C
两个共轭复根
p1,2
R 2L
( R )2 1 2L LC
di U0 dt t0 L
电路方程：
LC
d2uC dt
RC
duC dt
uC
0
特征方程：
LCp2 RCp 1 0
5
特征根：
p1,2
R 2L
( R )2 1 2L LC
3.零输入响应的三种情况
1）R 2 L 两个互异负实根 C
过阻尼
2）R 2 L 两个相等负实根 C
临界阻尼
3）R 2 L C
p1U 0 p2 p1
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
7
(t=0)
R
Li + uL - +
C -uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
i C duC U0
(e p1t e p2t )
dt ( p2 p1)L
uC U0
iC
p2U 0 e p1t p2 p1
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
U0 j2
0e j e( j)t 0e j e( j)
U 00
e t
e
j(t β)
e-j(t β) j2
U0
uc uC
i
U00 e t sin( t )
+
0 -
2- 2
t
i C duC U0 e t sin( t) dt L
定常数
+ R iR
50V
-
2A iC
iR (0 )
diR dt
(0
)
1
?
iC
(0
iR
) 1
50 R
uC
diR dt
(0
)
1 R
duC dt
(0
)
1 RC
iC
(0
)
200
20
iR 1 Ae100t sin(100t )
1 Asin 1 100 Acos 100 Asin 200
0
50
50
+ R iR iL
50 V
-
0.5H
iC
(2)求特解
iL 1A
18
RLC
d 2iL dt 2
L
di dt
RiL
50
(3)求通解
特征方程为： p2 200 p 20000 0 特征根为： p= -100 j100
i 1 Ae100t sin(100t )
(4)定常数
1 Asin 2
0
源自文库1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
13
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R 2L
代入初值，解得：
uC ( A1 A2t)e t
波形与过阻尼情况类似
A1 U0，A2 U0 uC U0 (1 t)e t
i C duC U0 te t dt L
uL
L diL dt
U0e t (1 t)
U0 uc
i
o tm uL
t
非振荡放电 临界阻尼现象
14
小结 R 2 L 过阻尼， 非振荡放电
C
uC
A1e
pt 1
A2e
pt 2
可推 广应
R 2 L 临界阻尼， 非振荡放电
C uC A1e t A2te t
用于 一般
R 2 L 欠阻尼， 振荡放电
由初值
uC(0
),
duC (0 dt
)
确定二个常数
uC
US
0
t
17
100F
2. 二阶电路的全响应
例 已知：iL(0-)=2A uC(0-)=0 求：iL, iR
解 (1) 列微分方程
应用KCL：
L diL 50 dt R
iL
LC
d 2iL dt 2
0
RLC
d 2iL dt 2
L
diL dt
RiL