第八章 第七节 抛物线1

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解析：∵点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，∴点P到焦点F
的距离等于点P到准线x＝－1的距离．∵点P到准线x
＝－1的距离为3，∴点P到焦点F的距离为3.
答案： B
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1 4．(2012· 怀化模拟)已知抛物线y＝2px2(p>0)的焦点为F，点P(1，4)在 抛物线上，过P作PQ垂直抛物线的准线，垂足为Q，若抛物线的准 线与对称轴相交于点M，则四边形PQMF的面积为________．
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[精析考题] [例3] (2011· 江西高考)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率 为2 2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且 |AB|＝9. (1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若 OC ＝ OA＋λ OB ，
求λ的值．
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[自主解答]
p (1)直线AB的方程是y＝2 2(x－2)，
与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0， 5p 所以：x1＋x2＝ 4 ， 由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9， 所以p＝4， 从而抛物线方程是y2＝8x.
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(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0， 从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2 2，y2＝4 2， 从而A(1，－2 2)，B(4，4 2)； 设 OC ＝(x3，y3)＝(1，－2 2)＋λ(4,4 2) ＝(4λ＋1,4 2λ－2 2)． 又y2＝8x3，即[2 2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 3 即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0，或λ＝2.
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012· 南昌模拟)直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点， 且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB 的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是 ( A．y2＝12x B．y2＝8x )
C．y2＝6x
D．y2＝4x
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2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．
[答案] C
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本例(2)中的条件“以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线 C的准线相交”变为“M到A(1,3)与它到焦点的距离和最小” 则M点的坐标是什么？
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[解]
如图|MF|＝|MN|
∴|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN| ≥|AN1|. 当且仅当M、A、N三点共线时取等号即M 点横坐标与A点的横坐标相同． 1 ∴M(1，8)．
y＝ 3x＋1 3 x＋1，由 2 x ＝4y
消去x得y2－14y＋1＝
0，y1＋y2＝14，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝(y1＋y2)＋2＝16.
答案：D
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6．(2012· 皖南八校联考)已知直线l：y＝k(x－2)(k>0)与抛物线C： y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|＝2|BF|， 则k的值是 1 A.3 C．2 2 2 2 B. 3 2 D. 4 ( )
答案：D
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[题后悟道] 等价转化思想在抛物线的应用广泛．除遇到焦半径问题使用定义 转化外，有时线段的长度、角度等问题可转化为相应向量的模与夹角 去处理，如本例法二将∠FAB转化为向量 FA 、 FB 夹角计算时较法一 常规利用余弦定理简单，注意体会运用．
________．
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解析：由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝ |AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得 最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝ 4时，为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2. 答案：2
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[冲关锦囊] 抛物线的定义实质上是一种转化思想即
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一、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离 相等的点 的
轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物 线的 准线 ．
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二、抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0)
图形
范围 对称轴
x≥0，y∈R x轴
x≤0，y∈R
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[精析考题] [例1] (1)(2011· 陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线 方程为x＝－2，则抛物线的方程是 A．y2＝－8x B．y2＝8x ( )
C．y2＝－4x
D．y2＝4x
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(2)(2011· 山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一
点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
5．(2012· 郑州模拟)已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线
x2＝4y的焦点F，且抛物线相交于A，B两点，则弦AB
的长为 A．14 C．10 B．6 D．16 ( )
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解析：设点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则依题意得焦点F(0,1)，准线方程 是y＝－1，直线l：y＝
第 八 章
第
抓 基 础
七
节
平 面 解 析 几 何
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
抛 物 线
提 能 力
[备考方向要明了] 考 什 么
理解抛物线的定义、几何图形和标准方程知道它的简
单几何性质．
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怎 么 考
1.抛物线的方程、几何性质或与抛物线相关的综合问题是
命题的热点． 2.题型既有小巧灵活选择、填空题，又有综合性较强的解 答题.
答案： B
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x2 y2 4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线 6 － 3 ＝1的右焦点重 合，则p的值为________．
x2 y2 解析：双曲线 6 － 3 ＝1的右焦点F(3,0)是抛物线y2＝2px的焦点， p 所以2＝3，p＝6.
答案：6Baidu Nhomakorabea
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5．(课本习题改编)若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0 上，则抛物线的标准方程是__________________． 解析：由x＝0，y＝－2，由y＝0，x＝4即(0，－2) 或(4,0)为抛物线的焦点 ∴抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.
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解析：根据题意画图，如图所示，直线m为抛物线 的准线，过点A作AA1⊥m，过点B作BB1⊥m，垂足 分别为A1，B1，过点B作BD⊥AA1于点D，设|AF| ＝2|BF|＝2r，则|AA1|＝2|BB1|＝2|A1D|＝2r，所以 |AB|＝3r，|AD|＝r，则|BD|＝2 2r. |BD| 所以k＝tan∠BAD＝|AD|＝2 2.
y2＝4x， 由题意知F(1,0)，由 y＝2x－4
消去y得
x2－5x＋4＝0解得x＝1或x＝4 因此可令点A(1，－2)，B(4,4)，F(1,0)， ∴|AB|＝3 5，|FA|＝2，|FB|＝5. 4 ∴在△FAB中，由余弦定理知，cos∠AFB＝－5.
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法二：由法一中知A(1，－2)，B(4,4)，F(1,0)， ∴ FA＝(0，－2)， FB ＝(3,4) ∴∠AFB可以看作向量 FA、 FB 的夹角． 4 FA· FB ∴cos〈 FA· 〉＝ ＝－5. FB | FA|· | | FB
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解析：由抛物线的定义知，点的轨迹是开口向左的抛 物线，且p＝2，∴其方程为y2＝－2px＝－4x. 答案： D
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3．(教材习题改编)已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值 为 A．4 C．－4 1 B．－4 1 D.4 ( )
1 1 1 解析：由x2＝ay.∴y＝－4a.∴a＝－4.
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顶点坐标
原点O(0,0)
焦点坐标
准线方程 离心率
p ( ，0) 2
p x＝－ 2
e＝1
p (－ ，0) 2 p x＝2
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标准方程 x2＝ 2py(p＞0)
x2＝ －2py(p＞0)
图形
范围 对称轴
y≥0，x∈R y轴
y≤0，x∈R
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顶点坐标 焦点坐标
原点O(0,0)
p (0， ) 2
p y＝ 2
(
)
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3 3 [自主解答] 结合图象可知， 过焦点斜率为 和－ 的直线与抛物线 3 3 各有两个交点，所以能够构成两组正三角形．本题也可以利用代数的 方法求解，但显得有些麻烦．
[答案]
C
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012· 合肥模拟)已知点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，则P点到抛 物线焦点F的距离为 A．2 C. 3 B．3 D. 2 ( )
答案：y2＝16x或x2＝－8y
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1．抛物线定义中定点的要求 定点F不能在定直线l上，因为若定点F在定直线l上，
则动点的轨迹为过点F且垂直于l的直线而非抛物线．
2．抛物线方程y2＝2px中，只有当p>0时p有几何意义， 且是抛物线的焦点到准线的距离． 3．由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需 将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可．
1．抛物线上点到焦点距离转化到点到准线距离．
2．抛物线上点到准线距离转化到点到焦点距离起到化繁 为简的作用．注意定义在解题中的应用.
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[精析考题] [例2] (2011· 湖北高考)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0) 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，
则
A．n＝0 C．n＝2 B．n＝1 D．n≥3
答案：C
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[冲关锦囊]
1．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋By＋C＝0， 将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程 my2＋ny＋q＝0. (1)若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点；
当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；
当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点． (2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛 物线的对称轴平行． 返回
解析：由弦长结合抛物线定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝8，又由 x1＋x2 AB的中点到y轴的距离可得 2 ＝2，代入上式可得p＝4， 故抛物线方程为y2＝8x.
答案：B
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2．(2012· 郑州质检)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线
与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作y轴垂线，
垂足分别为C、D，则|AC|＋|BD|的最小值为
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1 1 解析：由P(1，4)在抛物线上得p＝8， 故抛物线的标准方程为x2＝4y，点F坐标为(0,1)， 1 5 准线为y＝－1，∴|FM|＝2，|PQ|＝1＋4＝4， 1 5 13 |MQ|＝1，则直角梯形PQMF的面积为2×(4＋2)×1＝ 8 .
13 答案： 8
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[冲关锦囊] 研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应 用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的 应用.
p (0，－ ) 2
p 准线方程 y＝ －2
离心率
e＝1
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1．抛物线y2＝2x的焦点到准线的距离是 A．2 C．1 1 B.2 D. 2
(
)
解析：由条件知p＝1，即焦点到准线的距离为1. 答案： C
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2．坐标平面内到定点F(－1,0)的距离和到定直线l：x ＝1的距离相等的点的轨迹方程是 A．y2＝2x C．y2＝4x B．y2＝－2x D．y2＝－4x ( )
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数学思想（十八）等价转化思想在 抛物线中的应用
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[考题范例] (2011· 大纲全国卷)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与 C交于A，B两点，则cos∠AFB＝ 4 A.5 3 C．－5 3 B.5 4 D．－5 ( )
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[巧妙运用] 解析：法一：设点A(x1y1)，B(x2y2)．
2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据) p2 (1)y1y2＝－p ，x1x2＝ . 4
2
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝
2p (θ为AB的倾斜角)． sin2θ
p2 (3)S△AOB＝ (θ为AB倾斜角)． 2sinθ (4) 1 1 2 ＋ 为定值p. |AF| |BF|
(5)以AB为直径的圆与准线相切． (6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． (7)∠CFD＝90° .
和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是 A．(0,2) C．(2，＋∞) B．[0,2] D．[2，＋∞) ( )
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[自主解答]
(1)由准线方程x＝－2，可知抛物线为焦点
在x轴正半轴上的标准方程，同时得p＝4，所以标准方
程为y2＝2px＝8x. [答案] B
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(2)圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要 |FM|>4即可．根据抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋