九年级数学第三章切线长定理

切线长定理
【学习目标】
1.了解切线长定义,掌握切线长定理；
2.了解圆外切四边形定义及性质；
3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明.
【要点梳理】
要点一、切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
要点进阶：
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点进阶：
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
要点二、圆外切四边形的性质
1.圆外切四边形
四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形.
2.圆外切四边形性质
圆外切四边形的两组对边之和相等.
【典型例题】
类型一、切线长定理
例1．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求△PCD的周长．
（2）若∠P=50°求∠DOC．
例2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点.
求证：DE是⊙O切线.
举一反三：
【变式】已知：如图，⊙O为ABC
∆的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF
∠，过点A作AD BF
⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线.
O
F
D
C
B
A
3
4
2
1
O
F
D
C
B
A
例3．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（）
A.12
B.24
C.8
D.6
类型二、圆外切四边形
例4.已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；
（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；
（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．
举一反三：
【变式】在圆外切四边形ABCD中，AB:BC:CD:AD只可能是（）.
A.2:3:4:5
B.3:4:6:5
C.5:4:1:3
D.3:4:2:5
【巩固练习】 一、选择题
1. 下列说法中，不正确的是 ( )
A ．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点
B ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部
C ．垂直于半径的直线是圆的切线
D ．三角形的内心到三角形的三边的距离相等
2．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（ ） A.
2
1
（a ＋b ＋c ）r B.2（a ＋b ＋c ） C.31（a ＋b ＋c ）r D.（a ＋b ＋c ）r
3.如图，点P 在⊙O 外，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，∠P=50°，则∠AOB 等于（ ）
A ．150°
B ．130°
C ．155°
D ．135°
4. 如图所示，⊙O 的外切梯形ABCD 中，如果AD ∥BC ，那么∠DOC 的度数为( ) A.70° B.90° C.60° D.45°
第4题图 第5题图
5．如图，PA 、PB 分别是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC=35°，∠P 的度数为（ ）
A.35°
B.45°
C.65°
D.70°
6．已知如图所示，等边△ABC 的边长为2cm ，下列以A 为圆心的各圆中， 半径是3cm 的圆是( )
二、填空题
7．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为点D 、E 、F ，若∠DEF=52o
，则∠A 的度为________．
第7题图 第8题图 第9题图
8．如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________．
9．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o
，则∠BOC 为____________度．
10．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且 60=∠AEB ，则=∠P ____度．
第10题图 第11题图
11．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P 的度数为 .
12.已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=，连接PB，则PB= ．
三、解答题
13．已知，如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，P是BC上任意一点，过点P 作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N，设AO=d，BO=r．求证：△AMN的周长是一个定值，并求出这个定值．
14. 已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．
(1)若∠P=40°，求∠COD；
(2)若PA=10cm，求△PCD的周长．
15.如图，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点E，F，G，连接OE，OF．AO的延长线交BC于点D，AC=6，CD=2．
（1）求证：四边形OECF为正方形；
（2）求⊙O的半径；
（3）求AB的长．。