二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应

uC(t) U0
o U0 i(t)
Im o
Im
+ C uC
-
结论：两种不同性质储能
元件构成的电路，储能在电
t
场和磁场之间往返转移，这
种周而复始的过程称为“振
t 荡”。
i
若元件为理想的，称等幅
振荡；若电路中存在电阻，
L 幅度逐渐衰减为零，称衰减
振荡，也称阻尼振荡。
若电阻过大，储能在初次转移即被消耗，称过阻尼 情况（无振荡）。
方程的解：
j 1t
j 1 t
uCA1e LCA2e LC
代入初值uC(0+) = U0，则 A1A2 U0
duC dt
t0
C 1i(0)0
联立解得：
A1
A2
U0 2
A1A20
uC
U0 2
ej
1t
j
L C e
1 L
Ct
U0
cos
1 t LC
i C duC dt
U0
Csin L
1 t LC
50 V
LdditLR50iLLCdd2ti2L 0
-
0.5H
iC
RLddC 2ti2LLdditLRLi50
(2)求特解
iL 1A
RLdC d2ti2LLddtiRLi50
C
-uC
i C duC U0 (ep1t ep2t) dt (p2p1)L
uC U0
iC
p2U 0 e p1t p2 p1
0
tm 2tm
p1U0 e p2t p2 p1
uL 过阻尼
非振荡放电
uLLd dtip2 U 0p1(p1ep1tp2ep2t)
设 |P2|>|P1|，画出电压电流波形
+ R iL
- US (t)
L
+
uC- C
微分方程为：
LC dd 2utCRC ddutCuCUS
特征方程为:
uCuC uC
LC2pRC1p0
特解
通解 特解: uC US
uC解答形式为：
u C U S A 1 e p 1 t A 2 e p 2 t (p 1 p 2 )
u C U S A 1 e t A 2 t e t( P 1 P 2 )
代入初值：uC(0＋) = U0，ddutC t0 0，得到：
A1 A2 U0 p1A1 p2A2 0
联立解得：
A1
p2U0 p2 p1
A2
p1U0 p2 p1
uCp2U 0p1(p2ep1t p1ep2t)
(t=0) R L i + uL - +
uCp2U 0p1(p2ep1t p1ep2t)
p1j0ej p2 j 0ej
uCp2U 0p1(p2ep1t p1ep2t)
U j2 0 0 eje( j)t0 e je( j)
U0
0etej(tβ)
e-j(tβ)
j2
U0
uc uC
i
U 00etsint()
+
0 -
2- 2
t
iCddC ut UL 0 et sint()
uLLd d tiU 0 0e tsi n t ()
u C U S A tse i t n )( P 1 、 2 ( j)
由初u值 C(0),duC d(t0) 确定二个常数 uC
US
0
t
2. 二阶电路的全响应
100F
例 已知：iL(0-)=2A uC(0-)=0 求：iL, iR
解 (1) 列微分方程
50
应用KCL：
+ R iR iL
特征根：
p1,2
R 2L
( R)2 1 2L LC
3.零输入响应的三种情况
1）R 2
L C
两个互异负实根
过阻尼
2）R 2
L C
两个相等负实根
临界阻尼
3）R 2
L C
两个共轭复根
欠阻尼
根据上述情况，讨论方程的根及其对应的物理意义。
1）R 2
L C
两个互异负实根 uCA1ep1t A2ep2t
CBaidu Nhomakorabea
C
p1
p2
R
2L
代入初值，解得：
uC(A1A2t)et
波形与过阻尼情况类似
A1U0， A2U0 uCU0(1t)et
U0 uc
i
iCduC U0tet dt L
uLLddLitU0et(1t)
o tm uL
t
非振荡放电 临界阻尼现象
小结 R2 L 过阻尼非 ，振荡放电
C
uCA1ep1t A2ep2t
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uCuLU0sin 0(t2)
i CLU0 sin(0t)
等幅振荡 无阻尼现象
电路的振荡
强迫振荡：外施激励引起 us(t)Umcosst
激励的频率决定各响应的频率
自由振荡：电路自身决定
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
0 < t < tm t
t > tm
C
LC
L
R
R
2） R 2
L C
两个共轭复根
p1,2
R 2L
( R)2 1 2L LC
令 R — 衰减系数
2L
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0sin 0 cos
p 1 j 0 c o j0 s si n 0 e j p 2 j 0 co j0 si n 0 e j
可推 广应
R2 L 临界阻尼 非， 振荡放电
C uCA 1etA 2t e t
用于 一般 二阶 电路
R2 L 欠 阻 尼振，荡 放 电 C
u CA te sin t ()
由初始条件duduCtC(0(0)) 定常数
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应
例 uC(0－)=0 , iL(0－)=0
2.RLC串联电路的零输入响应
(t=0) R L i
已知uC(0–) = U0, i(0–) = 0，
+ uL C
求uC(t), i(t), uL(t), t 0
+ uC
方程：
RiuLuC0
-
uL
L
di dt
i C duC dt
以电容电压为变量： LC dd 2utCRC ddutCuC0
以电感电流为变量： LCd2iRCdii0
uL
衰减振荡放电 欠阻尼现象
uc U0
能量转换关系：
iC
0 - 2- 2
t
+
+
+
C -
L- C
L- C
L
R
0 < t <
R
R
< t < - - < t <
uCU 00etsi nt()
i U0 et sin( t) L
ω0
R 2L
02 2
ω
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
dt
dt
以电容电压为变量时的初始条件：
uC(0+)=U0 i(0+)=0
duC 0 dt t0
以电感电流为变量时的初始条件：
i(0+)=0 uC(0+)=U0 uL(0)uC (0)U 0
di U 0
dt t0
L
电路方程： LC dd 2utCRC ddutCuC0
特征方程：
LC2pRC1p0