指数函数图像的变换

88
个单位长度，
77
就得到函数
66
y= 2x2
55
的图象。
44
33
22
11
-6
-4 -3 -2-2 -1 0 1 22 3 4
6
8
a
19
比较函数y= 2x、1 y= 2x2与y= 2 x的关系：
将指数函数y= 2 x 的图象向右平行移动1个单位长度，
就得到函数y= 2x1 的图象， 将指数函数y= 2 x
低底 大 图
y
y 1 x 3
在第一象限 沿箭头方向
底增大
y 3x y 2x
高底 大 图
1
y 1 x
2
0 y 1 x
3
a
x
7
函数图象的变换
• 本节课主要研究函数图象的变换，得出 y=f(x)与y=f(-x), y=-f(x), y=f(|x|), y=|f(x)|的 图象关系；并能够通过y=f(x)图象的对称和 翻折得出其余四个函数图象。
a
3
一﹑平移变换
1.讨论函数 y x 2 与 y x2 2 , y(x1)2
的图象之间的关系.
y
y x2 2
归纳：
y x2
换平 移 变
左右平移:
左正右负
y=f(x)
y=f(x+h)
平移|h|个单位
2 1
y(x1)2
-1 0
1
x
上下平移:
上正下负
y=f(x)
y=f(x)+k
平移|k|个单位
a
y=f(x) 1
-1 0 -1
1
x
a
15
例 4.求关 x的 于方|x程 22x3|a(aR)
的不同实.根的个yy=a数 (a>4)有二个交点
解：在同一坐 标系中，作出 y=|x2+2x-3| 和y=a的图象。 由图可知：
y=a(a=4) 有三个交点
y=a(0<a<4) 有四个交点
4
-1 O 1
x
当a<0时, 方程无解;
a
8
y 2x
y 2x
x
y
(1 , 2)
(2 , 4)
(3 , 8)
x
y
( -?1 ,
2)
( -?2 ,
4)
( -?3 , 8 )
( m , 2m )
( -?m , 2m )
当自变量取值是一对相反数时，函数值是相等。
y=2x图像上任意一点P（x,y）关于y轴的对称 点P1(-x,y)都在y=2-x的图像上；反之亦然。
一般的函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关系？
关于x轴对称
-y=f(x)
a
11
函数图象的变换
练习 设f(x)= 1 (x>0)，作出函数y=-f(x)、y=f(-x) 的图象。
x
y
y=f(x)
y
y=f(-x) y=f(x)
o1 x
y=-f(x)
横坐标不变 纵坐标取相反数 图象关于x轴对称
o1 x
横坐标取相反数 纵坐标不变 图象关于y轴对称
a
对 称 变 换
12
在同一坐标系中作出下列函数的图象，并说 明它们之间有什么关系？
（1）y=2x与y=2|x|
y
yy==22|xx|
1
O
x
由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象：
保留y=f(x)中y轴右侧部分，再加上这部分关于y轴对 称的图形.
a
13
10
y 2x
y 2x
x
y
(1 , 2)
(2 , 4)
(3 , 8)
x
y
(1
, -2? )
(2
, -4? )
(3
, -8? )
(m 思考
, 2m )
(m
, - ?2m )
横坐标不变，纵坐标互为相反数。 y=2x
图像上任意一点P（x,y）关于x轴的对
称点P1(x,-y)都在y=-2x的图像上；反之 亦然。
数的图象？
y y=f(x)+1
（1）f(x-1)=(x-1)2 （2）f(x+1)=(x+1)2
（3）f(x)+1=x2+1 （4）f(x) -1=x2-1
y=f(x+1)
1 -1 O 1 y=f(x)-1 -1
y=f(x-1)
x
函数图象的平移变换：
wenku.baidu.com
y=f(x)
y=f(x+a)左右平移
a>0,向左平移a个单位 a<0,向右平移|a|个单位
y=f(-x) y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=-f(x) y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
y=-f(-x) y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
y=f(|x|) y=|f(x)|
f(|x|)ff((xx)),(,(xx00))
f(x),f(x)0； yf(x) f(x),f(x)0.
x
当 x < 0 时0，y > 1； x
定 义 域 :当Rx > 0 时， 0< y < 1。
性
值 域: ( 0,+ ∞ )
恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
a
6
观察图像，发 现图像与底的 关系
y 1 x 2
y f 1(x) 与y=f(x)的图象关于a直线y=x对称.
2
翻折变换
小结：
1、y=f(x)y=f(|x|)，将y=f(x)图象 在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左 侧，并保留y轴右侧部分。 2、 y=f(x)y=|f(x)|，将y=f(x)图象 在x轴下侧部分沿x轴翻折到x轴上 侧，并保留x轴上侧部分。
6
8
a
1
对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法 作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图 等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，这种方法我们 遇到的有以下几种形式：
函数
y=f(x)
y=f(x+a) a>0时向左平移a个单位；a<0时向右平移|a|个单位. y=f(x)+a a>0时向上平移a个单位；a<0时向下平移|a|个单位.
y=a(a<0)
当a=0时, 方程有两个解; 没有交点
当0<a<4时,方程有四个解;
当当aa=>44时或，a=0方时程,方有程三有个两解个; 解.
当a>4时, 方程有两个解. a
y=a(a=0) 有两个交点
-4
16
课堂训练
f(x)x24x3函数的单调增区间 为
a
17
问题1：如何由f(x)=x2的图象得到下列各函
b>0,向上平移b个单位
y=f(x) y=f(x)+b 上下平移 b<0,向下平移|b|个单位
a
18
比较函数y= 2 x、1 y= 2x2 与y= 2 x 的关系：
将指数函数y= 2 x 的图象向左平行移动1个单位长度，
就得到函数y= 2x1 的图象， 将指数函数y= 2 x
的图象向左
9
平行移动2
的图象向右
9
平行移动2
88
个单位长度，
77
就得到函数
66
y= 2x2
55
的图象。
44
33
22
11
-6
-4 -3 -2-2 -1 0 1 22 3 44 5 6
8
a
20
练习.已知函数y=|2x-2|
（1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。
y
y=2x
y=2x-2
4
3、如图所示,当0<a<1时,函数y=ax和 y=（a-1)x2的图象只可能是( D )
y
y
y
x
x
x
A
B
C
a
y x
D
5
回顾：指数函数 y a x 的图像及性质
a>1
0<a<1
图
y=1
y
y=ax
(a>1)
(0,1)
y=ax
y
(0<a<1)
(0,1)
y=1
象 当 x > 0 时，y > 01.
当 x < 0 时，. 0< y < 1
点动 成线
a
9
当函数y=ax与函数y=a-x 的自变量的取值互为相反 数时,其函数值是相等的.
两个函数图像关于y轴对称
y
1
x
y
2 8
y=2x
思考
一般的函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关系？ f(x)---2x;f(-x)---2-x 关于y轴对称
a
4
2 1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
练习设f(x)= x2 2 x ，作出求函数y=|f(x)|
的图象。
由y=f(x)的图象作y=|f (x)|的图象：
由y=f(x)的图象的上半平面部分（包括x轴上）， 及将它的下半平面内图象以x轴为对称轴翻折到 上半平面所得部分合并而成。
a
14
y=f(x)的图象如下图所示，尝试画出y=f(|x|)和 y=|f(x)|的图象。 y
y=|2x-2|
1
y=|2x-2|
O 1 23 x -1
a
21
比较函数y= 2 x、1 y= 2x2 与y= 2 x 的关系：
将指数函数y= 2 x 的图象向左平行移动1个单位长度，
就得到函数y= 2x1 的图象， 将指数函数y= 2 x
的图象向左
9
平行移动2
88
个单位长度，
77
就得到函数
66
y= 2x2
55
的图象。
44
33
22
11
-6
-4 -3 -2-2 -1 0 1 22 3 4