第九章 湍流流动与换热

9-3 湍流半经验理论与湍流模型简介
由连续性力程可知，横向脉动速度 v′与 u′ 有相同的数量级：
O ( v′ ) = l ′ ∂u ∂y
（9-3-6） 显然有
∂u ′v′ l ′2 −u ∂y
2
（9-3-7）
根据湍流应力定义，有
νt = l2
式中l为普朗特混合长度。
∂u ∂y
是 u ( y − l ′ ) ，l ′ 是微团保持仍被识别的混合长度。假设流体微团 从y到 y − l ′ 仍保持x方向动量不变，x方向的速度脉动 u′ 的数量 级显然是 u ( y ) − u ( y − l ′ ) ，即
O ( u′) = l ′
∂u ∂y
（9-3-5）
9-3 湍流半经验理论与湍流模型简介
∂u ∂y
+
∂v ∂x
（9-3-1）
9-3 湍流半经验理论与湍流模型简介
t τ xz = − ρ u′w′ = ηt
∂u ∂z
+
∂w ∂x
∂v ∂ w ′w′ = ηt + τ = −ρ v ∂z ∂y
t yz
其中ηt称为湍流动力粘度， ν t = ηt ρ 称为湍流运动粘度或湍流动 量扩散率。类似地，湍流热流可表示为
展开为
∂u ∂ v ∂ w ∂u′ ∂v′ ∂w′ + + + + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
根据时均法则，脉动项的时均值为零，得
∂u ∂ v ∂ w + + =0 ∂x ∂y ∂z
（9-2-1）
上式与层流具有同样的形式，只是速度采用时均值。 x方向的动量方程(6-2-8)很容易改写为
∂u ∂ 2 ∂ ∂ 1 ∂p + ( u ) + ( uv ) + ( vw ) = − + v∇ 2u ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x
（9-2-2）
利用时均法则得到
∂ 2 ∂ ∂ 1 ∂p u + uv + ( vw ) = − + v∇ 2 u ∂x ∂y ∂z ρ ∂x
( )
( )
（9-2-3）
9-3 湍流半经验理论与湍流模型简介
9-3-1 湍流应力与湍流热流 1877年布斯涅斯克提出，湍流应力与速度梯度的关系可以按粘性 应力的形式表示，即
τ = − ρ u′u′ = 2ηt
t xx
∂u 2 ∂ u ∂ v ∂ w − ηt + + ∂x 3 ∂x ∂y ∂z
τ
t yy
9-3 湍流半经验理论与湍流模型简介
9-3-2 普朗特混合长度理论 根据1925年普朗特提出的动量混合长度理论，可以讨论湍流运动 粘度νt的数量级。如图9-3所示， 假设位于y层的流体微团的x方向的时均速度为 u ( y )。由于横向脉 动，微团移向壁面到达
y − l ′ 位置，此处微团的时均速度
高等传热学内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 导热理论和导热微分方程 稳态导热 非稳态导热 凝固和熔化时的导热 导热问题的数值解 对流换热基本方程 层流边界层的流动与换热 槽道内层流流动与换热 湍流流动与换热
第十章 自然对流 第十一章 热辐射基础 第十二章 辐射换热计算 第十三章 复合换热
(9-2-11) (9-2-12) (9-2-13)
∂t ∂t 1 ∂ ∂t ′t ′ u +v = − λ − ρcp v ∂x ∂y ρ c p ∂y ∂y 边界层外伯努利方程仍然适用，即
−
dU ∞ dp = ρU ∞ (9-2-14) dx dx 式(9-2-13)、(9-2-14)称为湍流边界层时均方程组。 无论是湍流时均方程组还是湍流边界层时均方程组，均是不封闭的，除 层流方程中出现的u、v、w、p和t等未知量外，还增加了雷诺应力和雷诺 热流，因而解决湍流问题的途径必须附加相应数目的方程，使方程组封 闭。目前附加方程均是以半经验理论为依据的。
t qx = ρ c p u ′t ′
q ty = ρ c p v′t ′
t qz = ρ c p w′t ′
9-2 湍流微分方程
∂u ∂ v + =0 ∂x ∂y
ρ u
∂u ∂u d p ∂ ∂u +v = − + µ − ρ u′v′ ∂y dx ∂y ∂y ∂x
湍流流动中，u、v、w均为瞬时值，按雷诺时均法则，它们可以 表示为时均值与脉动值之和，即
u = u + u′
v = v + v′
w = w − w′
将以上各式代入连续性方程，并作时均运算得
∂ u + u′ ∂x
(
) + ∂ ( v + v′) + ∂ ( w + w′) = 0
∂y ∂z
9-2 湍流微分方程
τ tot = η
∂u ∂u − ρ u′v′ = ρ (ν +ν t ) ∂y ∂y
（9-3-3）
∂t ∂t ′t ′ = ρ c p ( a + at ) qtot = λ − ρ c p v ∂y ∂y
（9-3-4） 显然，类比的概念与形式较容易接受，但物理本质上湍流应力与 湍流热流同粘性应力与分子扩散有根本的区别。对于湍流，ηt的大 小不仅同脉动有关，还与时均速度有关，已不是流体物性；同样， at也不是流体的特性，布斯涅斯克理论只是进一步简化时均方程以 使之便于封闭。
( )
( )
（9-2-5） 类似地可以得到y、z方向的时均形式的动量方程：
u ∂v ∂v ∂v 1 ∂p ∂ ∂ ∂ +v +w = − + v∇ 2 v − u′v′ − v′2 − ( v′w′ ) ρ ∂x ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z （9-2-6）
( )
)
( )
u
∂w ∂w ∂w 1 ∂p ∂ ∂ ∂ +v +w =− + v∇ 2 w − w′u′ − ( w′v′ ) − w′2 （9-2-7） ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂x ∂y ∂z
9-1 湍流的基本概念
9-1 湍流的基本概念
9-1-2 湍流结构及时均描述方法
湍流对流换热是近年来的主要研究课题之一，许多研究者对湍 流传热问题给出了系统的总结。纵观湍流传热的研究历史，一个 世纪以来，始终遵循雷诺、布斯涅斯克和普朗特提出的理论。 由层流到湍流的过渡是一个十分复杂的过程，对这个区域的研 究仍是当代学者的主要任务之一，目前尚无较准确的描述，因而 以后篇幅所涉及的均是旺盛湍流。 湍流是一种随机、非定常的、三维有旋流动，由各种尺寸的涡 组成。涡是三维的，其大小、强度及其产生的地点、周期均不规 则。Bejan认为湍流具有大尺度上的相同结构。一般解决湍流传热 问题的基本方式与过去讨论的层流问题一样、是基于时间平均法 则的描述。实验研究表明．湍流中涡团的尺度远大于分子平均自 由行程，连续介质假设仍然成立。
9-2 湍流微分方程
展开上式，并应用时均法则，有
∂ 2 1 p ( u ) + ∂∂y uv + ∂∂z vw = − ρ ∂ x + v∇2 u − ∂∂x u′2 − ∂∂y u′v′ − ∂∂z ( v′w′) ∂x ∂
( )
( )
( )
( )
（9-2-4） 将式(9-2-1)代入上式，得
u ∂u ∂u ∂u 1 ∂p ∂ ∂ ∂ +v +w =− + v∇ 2 u − u ′2 − u′v′ − ( v′w′ ) ρ ∂x ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
= − ρ v′v′ = 2ηt
∂ v 2 ∂u ∂ v ∂ w − ηt + + ∂y 3 ∂x ∂y ∂z
∂ w 2 ∂u ∂ v ∂ w − ηt + + ∂z 3 ∂x ∂y ∂z
t τ zz = − ρ w′w′ = 2ηt
t τ xy = − ρ u′v′ = ηt
第九章 湍流流动与换热
前面两章讨论的是外掠物体和管内流动的层流对流换 热，然而不可能在所有Re数下都能得到层流。 由流体力学可知，当Re数超过一定数值后，流体中会 出现脉动，层流可发展成为或诱导出更加复杂的流 动——湍流。 湍流传热问题包括湍流的流动行为、工程传热中的主 要应用以及湍流如何进行热量与动量传递。 本章将扼要介绍湍流的基本概念、湍流传热的基本处 理方法和一些经验关系式。
q = ρ c p u ′t ′ = − ρ c p at
t x
∂t ∂x
q ty = ρ c p v′t ′ = − ρ c p at
∂t ∂y
（9-3-2）
9-3 湍流半经验理论与湍流模型简介
t qz = ρ c p w′t ′ = − ρ c p at
∂t ∂z
考虑上一节结出的湍流边界层时均方程，湍流应力和湍流热流可 以表示为
（9-3-8）
9-3 湍流半经验理论与湍流模型简介
不同的流动有不同的混合长度，不存在确定混合长度的通用准则， 它与物性和速度无关，只取决于流体微团脉动的距离，或者是与流 场某个特征尺寸有关。对于湍流边界层流动，普朗特假定它和距壁 面的法向距离成正比： l = ky （9-3-9） 式中k称为冯·卡门常数。 代入式(9-3-8)得到 (9-3-8) 2 2 ∂u
9-1 湍流的基本概念
9-1-1 层流到湍流的过渡 1883年，雷诺通过对管内流动状态的观察和研究，首先发现了流 态分为本质上的不同的层流和湍流。由层流过渡到湍流的原因十 分复杂，一般可以理解为是微小的扰动在一定条件下被放大，使 层流失去稳定性，成为湍流。引起扰动的因素主要有来流的不均 匀性、流体中杂质引起的物性的突变、来流温度的不均匀。影响 层流过渡到湍流的因素还包括自由流的压力梯度、表面粗糙度、 传热量等以及湍流强度。层流过渡到湍流是在一个区域内逐渐完 成的，该区域称为过渡区。过渡开始时的雷诺数称为临界雷诺数 Recr，不同的流动方式有不同的临界雷诺数：一般管内流动取Recr = 2300～104，外掠物体时取Recr＝6×104～ 5×106。如果湍流强 度很低，表面很光滑，则临界雷诺数可以提高几个数量级。一些 研究者用激光对直管进行研究，发现临界雷诺数可达几十万。 层流向湍流的过渡有几个特征：边界层厚度迅速增加(如图9-1所 示)；速度分布由层流时的布劳修斯分布变得较平坦，最终趋于 1/7次方指数分布；边界层的位移厚度与动量厚度之比急剧下降。 粘性流体稳定性理论认为，层流向湍流的过渡是发生在局部地点 的现象，因而不少研究者采用边界层动量厚度作为临界雷诺数的 定型尺寸。
(
( )
9-2 湍流微分方程
同样可以获得时均形式的能量方程：
u ∂t ∂t ∂t ∂ ∂ ∂ + v + w = a∇ 2 t − u′t ′ − ( v′t ′ ) − w′t ′ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
( )
( )
（9-2-8） 式(9-2-5)～(9-2-7)称为雷诺时均方程。与层流的N-S方程相比，湍 流的雷诺方程增加了由速度脉动值构成的附加项。由这些脉动引 起的附加应力称为雷诺应力或湍流应力： t t t ′u ′ τ yy = − ρ v′v′ τ zz = − ρ w′w′ τ xx = ρ u t t t t t ′ ′ ′v′ τ xz = τ zx = − ρ u ′w′ τ yz = τ zy = − ρ v′w（9-2-9） τ xy = τ yx = − ρ u 式(9-2-8)ห้องสมุดไป่ตู้为湍流能量方程。同样，与层流方程相比，增加了与 速度温度脉动有关的附加项，称为雷诺热流，即 （9-2-10） 若考虑的是不可压缩湍流，二维稳态的湍流边界层流动方程组进 步化简为
∫τ
τ +∆τ
φ (τ )dτ
9-1 湍流的基本概念
9-1 湍流的基本概念
时均法则的基本出发点是一段时间内脉动量的时均值为零，即
φ=
1 ∆τ
∫τ
τ +∆τ
φdτ =
1 ∆τ
∫τ
τ +∆τ
φdτ +
1 ∆τ
∫τ
τ +∆τ
φ dτ = φ + 0
′
(9-1-3)
即
φ′ =
(9-1-4) 类似地可以得到一系列时均法规则。流体的湍流强度通常用下式 表示:
1 ∆τ
∫τ
τ +∆τ
φ ′dτ = 0
1 1 u′u′ + v′v′ + w′w′ V 3 若 u′u′ = v′v′ = w′w′ ，则称为各向同性湍流。 J=
(
)
1 2
(9-1-5)
9-2 湍流微分方程
对于常物性的不可压缩流体，其连续性方程为
∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z
9-1 湍流的基本概念
根据雷诺提出的时均化法则，描述湍流流动与换热的物理量的瞬 时值ф时可以用时均值 φ 与脉动值 φ ′ 之和表示。如图9-2所示。 即
φ = φ + φ′
其中时均值定义为
1 φ= ∆τ
(9-1-1)
(9-1-2) 时均值随时间变化的湍流称非稳态湍流，不随时间变化的湍流称 为稳态湍流。