4.1.1定积分的背景-面积和路程问题

4.4.1定积分的背景-面积和路程问题

知识与技能：

1•通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景; 2•借助于几何直观体会定积分的基本思想， 单的定积分.

3.理解掌握定积分的几何意义和性质； 过程与方法：

通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。 情感态度与价值观：

通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而 激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义. 教学过程： 一.创设情景

问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。有的是规则的平面图形，但现实 生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面 积？比如浙江省的国土面积。此问题在学生九年级中已有涉及，在九年级 时学生了解过以下求不规则面积的方法：

方法1将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位 面积”。。 方法2将图形从内外两个方面用规则图形 （或规则图形的组合）逼近。

方法3将这块图形用一个正方形围住， 然后随机地向正方形内扔 “点”

（如小石子等小颗粒），当点数P 足够大时，统计落入不规则图形中的点 数A ，则图形的面积与正方形面积的比约为。

方法4 “称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是

P （正方形区

域内细沙重卜A （所求图形内细沙重），则所求图形的面积与正方形面积的比是重量之比。

我们把由直线 X = a , X =b(a H b), y = 0和曲线

形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积?

探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案? 探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。

了解定积分的概念，能用定积分法求简

定积分的几何意义.

二.合作探究

问题一曲边梯形的面积

如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线 （分割）

（近似代替）、（求和）

探究3:如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多? （取极限）

探究4:采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么? （夹逼定理的意义） 例如：求图中阴影部分是由抛物线 y =x 2 ,直线X =1以及x 轴所围成的平面图形的面积 S

。 思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别? （2）能否将求这个曲边梯形面积 S 的问题转化为求“直 边图形”面积的问题？ 解： （1 ）•分割 （2）近似代替 （3）求和 由①，上图中阴影部分的面积 S n 为S n =Si S ：=Z

= z

i#

i=i V n 丿 irn k n

n

—1丫 1

------ I * —

n

问题：如果不是在区间的两个端点取, 样的结果？

而是在每一个区间中间取任意一点作为高, 会有怎

从而得到S 的近似值S 止S n = (4)取极限

分别将区间〔0,1 I 等分8, 16, 20,…等份(如图)，可以看到，当n 趋向于无穷大时，即A x

从数值上看出这一变化趋势:

2

：

L 1 2D 000 00

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750

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S 1 <三7人

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S 的近假们迅

趋向于0时，S n =二i 1 一二

31 n J

「2d 趋向于S ，从而有

S =lim S n =lim S

n ^^ n ^C .

f 1、 < 1 ) 1 — 1 - 1 n J 1 2n 丿

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f

i i

★求曲边梯形面积的四个步骤

第一步：分割. 在区间［a,b ］中任意插入 n-1各分点，将它们等分成

n 个小区间

［x 』，

X i ］（i =1,2,|朴，n ）,区间［Xid ，X i ］的长度 i X i =Xi — x_i ,

小曲边梯形面积的近似值.

第四步： （说明：

最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值）

问题二汽车行驶的路程

汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程为 S=vt •如果汽车作变速直 线运动，在时刻t 的速度为v （t ）=-1? +2 （单位：km/h ）,那么它在0 < t < 1（单位：h ）这段 时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？

分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的

上，由于v （t ）的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，

从而求得汽车在每个小区

间上行驶路程的近似值，在求和得 S （单位：km ）的近似值，最后让n 趋紧于无穷大就得到 S （单位：km ）的精确值.（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的 思想方法求出匀变速直线运动的路程） . 解：1.分割

在时间区间〔0,1 ］上等间隔地插入n-1个点，将区间［0,1 ］等分成n 个小区间： 磴］*讣…hM 记第i

个区间为F 讣72川

n ）

其长度为

把汽车在时间段（0，丄［,r ,2］,…，〔口，i ］上行驶的路程分别记作：

A S M S ，…,

ll n 」m n 」

［n 」

△Sn

显然，S =— （2 ）近似代替

当n 很大，即A t 很小时，在区间 〔口，丄］上，可以认为函数 v （t ）=-1

2

+2的值变化很 ［n n 」

i 一1

小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点-一1

处的函数值

n

V 匸〕口 1 +2，从物理意义上看，即使汽车在时间段 〔口，丄］（i =1,2,ill, n ）

I n 丿I n 丿 C nn 」

第二步: 近似代替。“以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,

求出每个

第三步: 求和. 取极限。 路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题•把区间

［0,1］分成n 个小区间，在每个小区间