垂径定理 (1)

C
A
M└
●
B
O
D
二、填空：
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm。 2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。
A O E O B
A
E
B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 2 3cm。
A
O E B
观察并回答
（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦， 弦AB是否一定被直径CD平分？
C B
B C
O
O
A D
A D
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦 AB有可能被直径CD平分？
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E . 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且 （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A D B E
·
O
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ， 过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘 宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱 桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C M H A E D F B O N
O D A B
你学会了 吗？
一、判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..(√ ) （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
O
A E C D B
.
实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的 线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.
你能讲解 你能有一句话概括一下吗？ 吗？
3、已知：⊙O中弦AB∥CD。 求证：AC＝BD 证明：作直径MN⊥AB。
解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O， ⌒ 如图，用 ＡＢ
B A
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC 与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 ⌒ ＡＢ 的中点，CD 就是拱高． 解：因为 AB=37.4，CD=7.2， 1 1 AD AB 37 .4 18 .7, 2 2 C
⌒
引申定理
定理中的径可以是直径、半径、弦心距等 过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理 的变式： 一条直线具有：
经过圆心 垂直于弦
可推得
平分弦 平分弦所对的劣 （优）弧
定理辨析 判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
C
C
O A D E B
A D E
O
O A
B
E D
B
C
O
O
O
A E D B
A E B

⌒ ⑤AD=BD.
②CD⊥AB,
⌒
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⑤AD=BD. ⌒
讨论
（1）过圆心（2）垂直于 弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分 弦所对的劣弧
（2） （1） （3） （4） （5） （1） （4） （2） （1） （3） （5） （5） （1） （3） （3） （4） （4）
连接OA,OB,则OA=OB.
A
在△OAM和△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM，AM=BM ∴△OAM≌△OBM. C ∴∠AMO= ∠ BMO. B ∴CD⊥AB M└ ∵⊙O关于直径CD对称, ●O ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
A 18.7 R O D 7.2 B
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
说出你这节课的收获和体验，让大家 与你一起分享！！！
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
在Rt△OAM和Rt△OBM中, A ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
D C
M└
●
B O
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B 重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, ⌒ ⌒ AD和BD重合.
⌒ ⌒ ⌒ ∴AC =BC, AD =BD.
下课了!
结束寄语
•不学自知,不问自晓,古今 行事,未之有也.
学生练习
已知：AB是⊙O直径，CD
B
O
是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF
A E C
.
D F
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些 油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度。
解：
(1)
O A E D
650 OB (mm) 2 600 EB (mm) 2
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？ 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都 是它们的对称轴 2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？ 圆是中心对称图形，圆心是对称中心
.
3、填空： 圆周 曲 （1）根据圆的定义，“圆”指的是“ ”，是 线，而 不是“圆面”。 （2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆 的 位置 ，半径决定圆的 大小 ，二者缺一不可。 （3）同一个圆的半径 处处 相等。
C
A
M└
●
B
O
D （2） （3） （4）
（2）
（3）
（1）
（4） （5） （1）
（2）
（4）
（1） （2） （3） （5） （5）
（1） （3） （2） （5） （5）
（1） （4） （2） （5） （4）
（2）
（3）
每条推论如何用语言表示？
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧 （4） …（5）… （6）…
（7）… （8）… （9）…
结论
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和 一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以 推出其他三个结论
弦心距
圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距。 练习1：在直径是20cm的 e O 中，∠AOB=60° ，那么弦AB的弦心距是 .
⌒ ⌒
M
C A D B
∵AB∥CD，∴MN⊥CD。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分 弦的直径平分弦所对的弦） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AM－CM＝BM－DM ⌒ ⌒ ∴AC＝BD
.O
N
夹在两条平行弦间的弧相等.
M A B C A A O E D B
. O
C
.
.O
D B N
小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
(2) E
B O A
OE OB 2 EB2 B
OE=125(mm)
D
油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)
或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm).
讲解
例1 如图，已知在⊙O中，弦 AB的长为8厘米，圆心O到AB 的距离为3厘米，求⊙O的半径. A E B
. O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米 在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
平分弦所对的两条弧．
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
C
AE=BE ⌒ ⌒ 条件 结论 AC=BC CD⊥AB ⌒ ⌒ AD=BD 垂径定理的几何语言叙述: ∵ CD为直径，CD⊥AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE=BE， AC=BC， AD=BD．
CD为直径
O
·
B
A
E D
垂径定理
如图,小明的理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90

EAD 90

ODA 90

1 1 ∴四边形ADOE为矩形，AE AC，AD AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
4、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16，CD=12，则AB、CD间的
距离是___2cm 或14cm .
1.两条弦在圆心的同侧
O
2.两条弦在圆心的两侧
A
●
A C
●
B D
O
B D
C
在来！你行吗？
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解： OE
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来 说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化 为解直角三角形的问题 。
别忘记还有我哟！！
作业：
1、P82练习 1、2题 2、教材88页习题24.1 8、9 ； 3、练习册同步．
A
E
B
垂径定理的推论:
合作探究
平分弦 （不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧． CD⊥AB吗？
条件 CD为直径
AE=BE
D Ｏ
CD⊥AB ⌒ ⌒ 结论 AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD
C
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Ｏ
·
B D
A
(E)
·
C
E
B
A
垂径定理的推论
如图: AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM
AB
A
E
B
1 1 AE AB 8 4 2 2
在Rt △ AOE 中
O
·
AO OE AE
2 2
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2：已知：如图，在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D两点。 求证：AC＝BD。
D
⌒ =BC, AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ∴AC
平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的两条弧.
Ｃ
Ｏ Ａ
Ｅ
Ｂ
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
③AM=BM,
可推得
Ｄ

由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
⌒ ⌒ ④AC=BC,
推论：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦,并且平分弦所对的两条弧.