考点34 导数和导数应用学生版

考点34 导数和导数应用

[玩前必备]

1. 基本初等函数的导数公式

2．导数的运算法则

（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； （2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； （3）2

()'()()'()()

'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢

⎥⎣⎦

(g (x )≠0)． 3. 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数几何意义：

函数()y f x =在点0x 处的导数0'()f x 就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线和斜率，即0'()k f x =.相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 4．函数的单调性

在某个区间(a ，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减． 5．函数的极值

(1)判断f(x 0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x 0处连续时，

①如果在x 0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤

①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 6．函数的最值

(1)在闭区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a ，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

(3)设函数f(x)在[a ，b]上连续，在(a ，b)内可导，求f(x)在[a ，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a ，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

[玩转典例]

题型一 导数的运算 例1 求下列函数的导数

(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝ln x x 2＋1．

[玩转跟踪]求下列函数的导数 (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x .

题型二 导数求切线方程问题

例2 （2020•全国1卷）函数43()2f x x x =-的图像在点(1

(1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =+

[玩转跟踪]

1．(新课标全国Ⅰ，14)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________． 2．(广东，11)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________． 3．(广东，12)若曲线y ＝ax 2－ln x 在(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________．

4.（2020•全国3卷）若直线l 与曲线y

x 2+y 2=1

5

都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1

B. y =2x +

12 C. y =

1

2

x +1 D. y =

12x +12

题型三 导数求函数单调性

例3 已知函数f (x )＝ln x ＋k

e x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝

f (x )在点(1，f (1))处的切

线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间；

[玩转跟踪]

1．(陕西，9)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数

D ．是没有零点的奇函数

2．(新课标全国Ⅱ，11)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)

D ．[1，＋∞)

3．(新课标全国Ⅱ，21)已知f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；

(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．

题型四 导数求函数的极值和最值

例4 (天津，19)已知函数f (x )＝x 2－2

3ax 3(a ＞0)，x ∈R .

(1)求f (x )的单调区间和极值；

[玩转跟踪]

1．(陕西，9)设函数f (x )＝2

x ＋ln x ，则( )

A ．x ＝1

2为f (x )的极大值点

B ．x ＝1

2为f (x )的极小值点

C ．x ＝2为f (x )的极大值点

D ．x ＝2为f (x )的极小值点

2．(陕西，21)设函数f (x )＝ln x ＋m

x

，m ∈R .

(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；

[玩转高考]

1.(2015·新课标全国Ⅰ，14)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________．

2.(2016·新课标全国Ⅰ，21)已知函数f (x )=(x −2)e x +a(x −1)2. (I)讨论f(x)的单调性；

(II)若f(x)有两个零点，求的取值范围.

3.(2017·新课标全国Ⅰ，14)曲线2

1

y x x

=+

在点（1，2）处的切线方程为_________________________ 4.(2017·新课标全国Ⅰ，21)已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ． （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．

a