探讨第二型曲面积分的计算方法

探讨第二型曲面积分的

计算方法

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Keywords (1)

0 前言 (1)

1 直接利用公式进行计算 (1)

2 利用积分曲面的对称性进行计算 (3)

3 利用两类曲面积分之间的联系进行计算 (6)

4 利用高斯公式进行计算 (6)

参考文献 (9)

探讨第二型曲面积分的计算方法

姓名：李亚平 学号：272

数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导老师：张萍 职称：讲师

摘 要：本文总结了有关第二类曲面积分的几种算法，对每种计算方法均配以典型例题加以诠释．

关键词：曲面积分；二重积分；投影区域；高斯公式．

The application of symmetry to the calculation of curvilinear

integral and camber integral

Abstract:Some theorems and methods for simplifying curvilinear integral and camber integral calculations by means of symmetry have been introduced in this essay ．And the proves of theorems is also included ．

Key Words ：symmetry ；curvilinear integral ；camber integral ；gauss formula ．

0 前言

众所周知，第二型曲面积分的计算比较繁琐，但是若能分类，利用曲面的对称性、两类曲面积分之间的联系、高斯公式、图形结合等方法系统的来解答第二型曲面积分，有时候就能使第二型曲面积分的计算相对简单、易懂，故此篇文章就第二型曲面积分的几种常见计算方法为中心进行展开讨论．

1 利用公式直接进行计算

大家知道，若()z y x R ,,在光滑有向曲面()()xy D y x y x z z ∈=∑,,,:上连续，则

()??∑

dxdy z y x R ,,存在，且有计算公式：

()()()dxdy y x z y x R dxdy z y x R xy

D ????±=∑

,,,,, (1)

其中xy D 表示∑在xOy 面上的投影区域，当曲面取上侧时(1)的右端取“+”号，取下侧时取“—”号．

这一公式表明，计算曲面积分()??∑

dxdy z y x R ,,时，只要把其中变量z 换为表示∑

的函数()y x z z ,=，然后在∑的投影区域xy D 上计算二重积分，并考虑到符号的选取即可．这一过程可总结成口诀：“一代二投三定向”． 类似地，如果曲面∑的方程为()x z y y ,=，则

()()()dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q Dzx

????±=∑

,,,,,． (2)

如果曲面∑的方程为()z y x x ,=，则

()()()dydz z y z y x P dxdy z y x P yz

D ????±=∑

,,,,,． (3)

因此我们在计算??∑

++Rdxdy Qdzdx Pdydz 时通常将其分开计算三个积分

??????∑

∑

∑

Rdxdy Qdzdx Pdydz ,,，

即分别把曲面Σ投影到yoz 面、zox 面，xoy 面上化为二重积分进行计算，投影域的侧由曲面Σ的方向决定．

例1 计算积分

()()()??∑

++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x 3，

其中Σ为球面2222R z y x =++,且取外侧．

解 对积分()??∑

+dydz y x ，分别用后前和∑∑记前半球面和后半球面的外侧，则

前∑：222222:,R z y D z y R x yz ≤+--=， 后∑：222222:,R z y D z y R x yz ≤+---=，

所以

()??????∑∑∑

+=+后

前

dydz y x

=()()

()????

-+---++--yz

yz

D D dydz y z y R dydz y z y R

222222

=??--yz

D dydz z y R 2222 ()θθsin ,cos r z r y ==令

=3022203

4

2R rdr r R d R

πθπ=-?

?．

对积分()??∑

-dzdx z y ，分别用左右和∑∑记右半球面和左半球面的外侧，则 右∑：222222:,R z x D z x R y xz ≤+--=， 左∑：222222:,R z x D z x R y xz ≤+---=．

对积分()??∑

+dxdy x z 3，分别用下上和∑∑记上半球面和下半球面的外侧，则

上∑：222222:,R y x D y x R z xy ≤+--=， 下∑：222222:,R y x D y x R z xy ≤+---=．

同理带入计算得

()??∑

-dzdx z y =()??

∑

+dxdy x z 3=3

3

4R π， 所以

()()()??∑

++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x 3=34R π．

2 利用积分曲面的对称性进行计算

定理1 设曲面S 是由关于点P （或平面α）对称的21S S 和组成，设11S M ∈的对称点为22S M ∈，则

()()??

???????=S

S ds

M f ds M f 0

21

()()()()1212M f M f M f M f -==若若． 证 以曲面S 关于平面α对称为例．不妨设曲面S 是关于平面xoy 对称的曲面

21S S 和组成，设11S M ∈坐标为()z y x ,,，则其对称点22S M ∈的坐标为()z y x -,,，设

21S S 、在xoy 平面上的射影区域为xy σ，则

()()()??????+=2

1

,,,,,,S S S

ds z y x f ds z y x f ds z y x f

=()[]()[]{}??++-+XY

dxdy z z y x z y x f y x z y x f y x

σ2

21,,,,,,．

(1) ()()()()????==-1

,,2,,,,,,S S

ds z y x f ds z y x f z y x f z y x f 时，；

(2) ()()()0,,,,,,??=-=-S

ds z y x f z y x f z y x f 时，．

例2 计算曲面积分??=S

ds xyz I ，其中S 为曲面22y x z +=介于平面10==z z 和之

间的部分．

解 因曲面S 关于平面yoz xoy 和对称，而()xyz z y x f =,,，由定理1知

??=1

4S xyzds I ，其中1S 是S 在第一卦限的部分．

dxdy y x ds y z x z y x z y x 2

222441,2,2,++=='='+=，

于是

()??+++=xy

D dxdy y x y x xy I 22224414

rdr r r r d ?+??=??22220

41cos sin 4θθθπ

=

420

1

5125-， 其中xy D 是曲面S 在xoy 面上的射影．

定理2 设光滑曲面S 关于平面xoy 对称，且S 在xoy 平面上半空间的部分曲面1S 取定上侧，在xoy 平面下半空间的部分曲面取定下侧，则 (1) 若()z y x R ,,关于变量z 是偶函数，则()??=S

dxdy z y x R 0,,；

(2) 若()z y x R ,,关于变量z 是奇函数，则()()????=1

,,2,,S S

dxdy z y x R dxdy z y x R ．

证 由于21S S S +=,而1S ：()y x z z ,=取上侧，2S ：()y x z z ,-=取下侧，设1S ，2S 在xoy 平面上的射影区域为xy σ，则

()()()??????+=2

1

,,,,,,S S S

dxdy z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R

=()[]()[]????--xy

xy

dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R σσ,,,,,,

=()[]()[]{}dxdy y x z y x R y x z y x R xy

??--σ,,,,,,．

(1) 若()()z y x R z y x R -=,,,,，则()??=S

dxdy z y x R 0,,；

(2) 若()()z y x R z y x R --=,,,,，则()()????=1

,,2,,S S

dxdy z y x R dxdy z y x R ．

推论1 设光滑曲面S 关于平面yoz 对称，且S 在yoz 平面前半空间的部分曲面

1S 取定前侧，在yoz 平面后半空间的部分曲面取定后侧，则 (1) 若()z y x P ,,关于变量x 是偶函数，则()??=S

dydz z y x P 0,,；

(2) 若()z y x P ,,关于变量x 是奇函数，则()()????=1

,,2,,S S

dydz z y x P dydz z y x P ．

推论2 设光滑曲面S 关于平面xoz 对称，且S 在xoz 平面右半空间的部分曲面1S 取定右侧，在xoz 平面左半空间的部分曲面取定左侧，则 (1) 若()z y x Q ,,关于变量y 是偶函数，则()??=S

dzdx z y x Q 0,,；

(2) 若()z y x Q ,,关于变量y 是奇函数，则()()dx dz z y x Q dzdx z y x Q S S

????=1

,,2,,．

例3 计算曲面积分

dxdy z dzdx y dydz x I S

222++=??，

其中S 是抛物面z a y x -=+222在上半空间部分的外侧()0>a ． 解 由推论1和推论2知

????==S

S

dzdx y dydz x 0,02

2， 故原式

()

????--=

=xy

D S

dxdy y x a

dxdy z I 2

222

2

=()

6022203

1

a rdr r a d a

πθπ

=-??． 其中222a y x D xy ≤+=．

例4 计算曲面积分??+-=S

dxdy z xdzdx ydydz I 2，其中S 为锥面22y x z +=在平面

21==z z 和之间的外侧．

解 由推论1和推论2知

????=-=S

S

xdzdx ydydz 0,0，

故

()

????≤+≤+-

==2

122

222y x S

dxdy y x

dxdy z I

=πθπ2

15

20

2

1

2-

=?-??rdr r d ． 3 利用两类曲面积分之间的联系进行计算

公式

()????∑

∑

++=++dS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz γβαcos cos cos ，

建立了两类曲面积分之间的联系，其中γβαcos ,cos ,cos 是有向曲面∑上点()z y x ,,处的法向量的方向余弦．

例5 计算积分

()()()??∑

++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x 3，

其中∑为球面2222R z y x =++,取外侧．

解 设γβαcos ,cos ,cos 是有向曲面∑上点()z y x ,,处的法向量的方向余弦，则

R

z R y R x ===

γβαcos ,cos ,cos ， 曲面的面积微元为dS ，根据对称性有

()()()??∑

++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x 3

=()()()[]??∑

-+-++dS x z z y y x γβαcos 3cos cos

=

()

??∑

-+-++dS xz z yz y xy x R 312

22 =

3

2

4R dS R

R π=??∑

．

4 利用高斯公式进行计算

(1) 设空间闭区域V 由光滑双侧曲面∑所围成，R Q P ,,在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则有

????????? ?

???+??+??=++∑V dxdydz z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz ，

其中∑取外侧．

例6 计算积分

()()()??∑

++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x 3，

其中∑为球面2222R z y x =++,取外侧． 解 设2222:R z y x V ≤++，则

()()()x z z y x R z y z y x Q y x z y x P 3,,,,,,,,+=-=+=，

满足高斯公式的条件，所以

()()()??∑

++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x 3

=3

43R dxdydz dxdydz z R y Q x P V

V π==???? ????+??+????????． (2) 若∑不是封闭曲面，则不能直接利用高斯公式，此时可以考虑用添加辅助曲面的方法将积分曲面补成封闭曲面()1∑+∑，通常我们称这种方法为“补块”．

补块是平行于坐标平面的平面块时一般最为有利，从而有

??

????∑∑+∑∑

-=++1

1

Rdxdy Qdzdx Pdydz

=????∑Ω++-????

????+??+??1

Rdxdy Qdzdx Pdydz dxdydz z R y Q x P ，

其中Ω是由分片光滑的闭曲面()1∑+∑所围成，R Q P ,,在Ω具有一阶连续偏导数．

例7 计算积分

??++S

zdxdy ydzdx xdydz ，

其中S 是上半球面222y x a z --=的外侧．

解 添加一曲面2221:a y x S ≤+，0=z ，取下侧为正向，则S 与1S 构成一封闭曲面，外侧为正向，故

??++S

zdxdy ydzdx xdydz

＝

????++-+++1

1

S S S zdxdy ydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz

=3203a dv V

π=-???．

(3) 如果函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,在Ω不具有一阶连续偏导数，则通过清除奇点，再利用高斯公式．

例8 计算曲面积分

??∑

+-=zdxdy rdzdx x rdydz y I ln ln ，

其中∑是椭球面122

2222=++c

z b y a x 的外侧，222z y x r ++=．

解 z R r x Q r y P =-==,ln ,ln ，则当()()0,0,0,,≠z y x 时，

112

22222=+++-++=??+??+??z y x xy

z y x xy z R y Q x P ． 作球面2222:εε=++∑z y x ，使ε∑所包围的部分εΩ包含在∑所围成的区域Ω内，且球面ε∑的法向量指向球心．

此时，由高斯公式，

zdxdy rdzdx x rdydz y I +-???

?

?

?

-=????∑

∑+∑ln ln εε =

?????+--Ω-Ωzdxdy rdzdx x rdydz y dxdydz ln ln ε

=??∑+---ε

πεπzdxdy rdzdx x rdydz y abc ln ln 34

343

=???

? ??---???Ωεπεπdxdydz abc 33434

=abc π3

4

．

在计算第二型曲面积分时，如果所给条件满足高斯公式的条件，我们通常选择用高斯公式来计算，因为用此种方法计算量比较小，且容易计算．在所给条件不满足高斯公式条件时，我们再考虑另外的几种计算方法．下面对其他几种计算方法的特点加以说明．

直接利用公式进行计算，首先必须标出曲面的“正负侧”，其次计算量比较大；利用曲面的对称性来进行计算的话，显而易见此曲面必须具有对称性，此种方法的优点在于可以很大程度的减少计算量，甚至能一步得出结果；利用两种曲面积分之间的关系来计算这种方法，在可以减少计算量的同时，必须知道有向曲面∑上点()z y x ,,处的法向量的方向余弦．

因此，我们在计算第二型曲面积分时，要根据所求积分的性质，以及所给条件，灵活应用各种方法．

参考文献：

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