5非周期信号的连续时间傅里叶变换资料

当 T 时： 谱线无限密集， 0 d, n0
幅度 Fn 趋于无穷小
Fn T


T 2 T 2
f (t )e
jn0t
dt
lim Fn T 令：F ( j) = T



f (t )e jt dt
4.4 连续时间信号傅里叶变换
又因为：


一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对可 积， 即要求



f (t ) dt
4.4 连续时间信号傅里叶变换
非周期信号的频谱函数
1 f (t ) 2



F ( j )e jt d

F ( j )

f (t )e jt dt
F ( j) F ( j) e j ( )
4.4 连续时间信号傅里叶变换
• 除周期信号外，自然界及各种工程技术 领域中还广泛地存在许多非周期信号， 例如汽车的点火装置所产生的电火花呈 脉冲性；人们的语音信号呈非周期性等。
• 能否使用分析周期信号的方法分析非周
期信号？
4.4 连续时间信号傅里叶变换
4.4.1 非周期信号的傅里叶变换表示
f (t )
dt f (t ) costdt j f (t ) sin tdt



当 f (t) 是实函数时： (1) 若 f(t)为t的偶函数，即 f(t) = f(-t)，
则 f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的实函数， 且为ω的偶函数。
(2) 若f(t)为t的奇函数，即 f(-t) = -f(t)，
X ( ) ( ) arctan R( )
F ( j ) F ( j ) 是ω的偶函数 ( ) ( ) 是ω的奇函数
F ( j) F * ( j)
4.4 连续时间信号傅里叶变换
几个重要结论：
F ( j ) f (t )e
jt
E
T － 复系数:
o τ T τ － － 2 2 2
T 2
T
2T
t
Fn
E T 2 π 4π
n0 E Fn Sa( ) T 2

0 3 0 0


4.4 连续时间信号傅里叶变换
4.4.1 非周期信号的傅里叶变换表示 jn0t f ( t ) F e n 周期信号有： n T 1 jn0 t F 2 f ( t ) e dt T n T 2 周期信号趋于非周期信号
则f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
4.4 连续时间信号傅里叶变换
与周期信号类似，也可将非周期信号的傅立叶变换表示式写
成三角函数的形式：
1 1 j jt t f (t ) F ( j )e d F ( j ) e d 2π 2π 1 1 F ( j ) cos t d j F ( j ) sin t d 2π 2π
幅度频谱： 相位频谱：
F ( j ) ~
变化的关系曲线 变化的关系曲线
（）～
4.4 连续时间信号傅里叶变换
f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式：
F ( j ) f (t )e
jt
dt f (t ) costdt j f (t ) sin tdt = R() + jX ()
) )
gτ(t)的傅里叶变换为：
F ( j ) g (t )e
jt
dt

/ 2 j t
/2
e
dt

e
j 2

2 sin(

2
)

) sin( 2 2
e j
)
j 2
Sa (
F ( j ) lim Fn T lim Fn
T T
2
0
lim Fn
T
1 f
称为频谱密度函数，简称频谱函数。
f (t ) lim
n0
T
n
Fne

jn0t
lim
T
n



Fn
0
e jn0t0
Fn F ( j ) 2
常用非周期信号:
– 门函数
– 冲激函数
– 直流信号 – 指数信号 – 阶跃函数 – 符号函数
– 冲激偶函数
4.4 连续时间信号傅里叶变换
例：门函数 (矩形脉冲一般称为门函数) 其宽度为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。
1 g (t ) 0 (t (t

2 2
• 可见，非周期信号也可以分解成许多不同频率的正弦分量。 与周期信号相比，只不过其基波频率趋于无穷小量，从而包 含了所有频率分量；而各个正弦分量的振幅
F j d / π
趋
于无穷小，从而只能用密度函数来描述各分量的相对大小。
4.4 连续时间信号傅里叶变换
4.4.2 典型信号的傅里叶变换
0 d


0
1 f (t ) 2


F ( j)e jt d
4.4 连续时间信号傅里叶变换 • 傅立叶变换对 • 正变换 • 逆变换
记为： 或：
F ( j )
1 f (t ) 2



f (t )e jt dt
F ( j )e jt d
f (t ) F ( j )


R( ) R( ) X ( ) X ( )
是ω的偶函数 是ω的奇函数
F ( j) F ( j) e j ( )
| F ( j) |= R2 () + X 2 ()
R( ) = F ( j ) cos ( ) X ( ) = F ( j ) sin ( )
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2
4.4 连续时间信号傅里叶变换
F ( j ) Sa (
k 2
) 2
0：
F ( j )
(k 1,2,3,)