几何画板在代数及解析几何中的应用案例

几何画板在代数及解析几何中的应用案例

几何画板在代数及解析几何中的应用案例

《几何画板》是从国外引进的教育软件，目前已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一，因为其学习入门容易并且操作简单，而且有着强大的图形、图象和动画功能，能在“形”与“数”之间自由转换，能方便地建立“可见形式”与“抽象形式”之间的关系，增大了数学被直接感知的可能，从而为改善数学的教学方式提供了极大的便利，本文我将结合具体教学案例重点介绍几何画板在高中数学代数、解析几何两方面的应用。

一、几何画板在代数中的应用。

几何画板在代数中的应用，主要通过《必修一》第二章《基本初等函数》来予以演示。 (一)、对数函数教学实例

本节课，新课标要求我们先通过描点法探究 和 两个函数，再探究“对于选取不同的底数a ，在同一个直角坐标系中作出相应的函数图像，观察图像，发现它们的共同特征”。如果我们采取过去“一黑到底”的教学模式，估计一节课的时间就只能够画图了，而且还不能清晰的展示出对数函数的特征。或许老师索性不探究，直接给出对数的相应的性质，但这样就丧失了新课改的精神，使学生失去了学习的主动性和探究问题的能力。

我们利用描点法画出 和 的函数图像（图表1）

（图表 1）

图表2：改变 中a 的值，让学生观察当a 值改变时，图像的变化情况，并提出相关问题，让学生带着问题思考。

1、当01时函数的单调性相同吗

2、不管a 取何值，图像是否经过同一点

3、在a 的值不断增大的过程中，函数图像是如何变化的呢

带着问题，学生观看图表2的演示，从图像的变化痕迹中整体把握对数函数的相关性质。

2log y x

=12

log y x =2log y x =12

log y x =x

y a

log =

（图表2）

本节课，学生很容易观察到:

1、当01时，在（0，+∞）上单调递增，并且发现对数函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

2、恒过（1，0）点。

3、在第一象限内，底数越大，图像按顺时针方向旋转。

通过图形的动态演示，一举多得，使学生能够对对数函数有个整体的了解，并且能够对知识形成深刻的印象，解决日常教学中的难点问题，比如第三问。

（二）、互为反函数的两个函数图像关于y=x对称的教学实例

新课标要求学生们掌握同底的对数函数和指数函数互为反函数，并了解互为反函数的两个函数图像关于y=x对称。本节课亦可以借助几何画板，化抽象为直观，化静止为运动。如图表3，点p的运动，说明了两个函数图像关于y=x对称，而a的改变，说明了只要指数函数和对数函数同底，那么它们的图像就关于y=x对

称，进一步说明了它们互为反函数。

（图表 2）

（三）、指数函数、对数函数、幂函数对比教学实例

学习贵在对比，只有把概念区分清楚，才能避免在做题时出错。例如，图表4，可以让学生观察在第一象限，指数函数

x

y c

=、对数函数、

幂函数a

y x

=随着c、b、a的取值的不同，三个函数的变化情况。通过对比学习，进一步掌握三个函数的性质。

（图表 3）

log

b

y x

=

从上面的三个教学实例中可以看出，几何画板可以使我们的课堂更加形象化，化抽象为直观，化静止为运动。但几何画板的应用不仅止于此。在代数中，多种函数图像、三角函数图像的变换、甚至是在不等式、数列也可以应用，在此就不赘述了。

二、几何画板在解析几何中的应用。

几何画板在解析几何中的应用，我主要通过《选修1-1》第二章《圆锥曲线与方程》的第一节《椭圆》的具体案例来予以演示。

（一）椭圆定义的探究

在新教材中，对于椭圆定义的探究——取一条细绳，把它的两端固定在板上的两点F1、F2，用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形。

这个探究可以利用实际演示，也可以利用几何画板。实际演示效果固然很好，但需要相应的道具辅助，在信息技术不断发展的今天，我们也可以利用信息技术工具——几何画板来探究。

1、图表5——拖动M点，即可形成椭圆。从图中可以看到，不管怎么变，始终有|MF|+|MF’|=2a=厘米

期间，可以让学生亲自拖动，体会椭圆的形成过程！无形中，更加说明了解析几何里面的一个思想，曲线是动点的运动轨迹。学生对于求动点轨迹类型的题目会有了一个动态的理解，也不会感到陌生了。

（图表5）

（二）椭圆离心率的探究

椭圆的离心率是椭圆简单几何性质中的一个重要性质，应用广泛。本节课我采用一种新的教学策略——形象类比+几何画板动态演示。过程如下

教师：说起离心率，先说说我们的老朋友圆，圆是曲线界最完美的图形，因为它只有一个心，每天一心一意的快乐！而椭圆呢，除了一个中心外，还有两个焦点，就像我们人类，除了一颗心以外，还有两个心房，一个住着快乐，一个住着悲伤，所以椭圆也有自己的喜怒哀乐，越圆越快乐，越扁越悲伤，那么有没有一个量来刻画椭圆的扁平程度呢会不会两个心房即两个焦点的距离距离椭圆的中心越近，椭圆越圆呢（图表6）。

（图表 6）

利用几何画板动态演示椭圆扁平变化。

（1）、长轴长保持不变，改变焦点到中心的距离，即改变c的值，发现椭圆有什么变化

（图表7）

（图表 8）

从图表7、8的动画演示过程中，引导学生发现，长轴长2a不变，改变c的值，c越小椭圆越圆。

（2）、焦距保持不变，改变a的值，发现椭圆有什么变化（学生思考）

（图表 9）

（图表 10）

从图表9、10的动画演示过程中，引导学生发现，c保持不变，a的值越大，椭圆越圆。

教师可适时引出离心率的概念

c

e

a

，学生继续观察指出e越小椭圆较圆，反之较扁，特别当c=0 即e=0

时变成了圆，（即e 大则扁， e 小则圆，特别 e=0 时为圆）如

（图表 4）