第三章 控制系统的能控性与能观性

0 1 a2
0 16 4 2 1 0 0 −2 4 2 0 = 8 6 1 0 1 0 = −1 6 1 1 12 2 1 −9 0 1 3 2 1
0 B = 0 ，C = CTc1 = [3 2 1] 1 0 1 0 0 ɺ x = 0 0 1 x + 0 u −2 9 0 1 y = [3 2 1] x
一、能控标准型 1. 能控标准Ⅰ型 对于
ɺ x = Ax + Bu
x = Tc1 x 1 a n −1 n−2 A B ⋯ B ⋮ a2 a1 1 a3 a2 ⋱ ⋯ ⋱ ⋯ an −1 1
y = Cx 是能控的，则存在线性非奇异变换
rankM = 3 满秩，所以系统能控。
（2）计算系统的特征多项式 得： a = 0，a = −9，a = 2
2 1 0
λ I − A = λ 2 − 9λ + 2
（3）求变换矩阵 Tc1 和 A，B，C
Tc1 = A2 B
0 A= 0 −a0
1 AB B a2 a1
2. 直接从A与B判别系统的能控性 前面已经看到，系统是否能控取决于系统 矩阵A和控制矩阵B，可以证明：线性定常 系统能控的充要条件是由A、B构成的能控 矩阵 2 n −1
M = B AB A B ⋯ A B
满秩，即rankM=n，否则系统为不能控的。
例：已知系统的状态方程如下，判别其能观性
1 0 −1 B = Tc 2 B = 0 ⋮ 0
−a0 0 ⋯ 0 − a1 1 ⋯ 0 − a2 ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ 1 −an −1
C = CTc 2 = [ β 0
β1 ⋯ β n−1 ]
这样的状态空间表达式称为能空标准Ⅱ型，a i 是特征方程的系数。
显然，只有 c1 ≠ 0 时，系统才可观， 否则系统不可观。也就是说输出矩 阵C中，对应每个约旦块开头的一列 的元素不全为零，系统可观。
b1
∫
c1
u
b2
λ1
y
x2
∫
λ1
c2
3.3 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 根据所要解决的问题需要，常常将状态空 间表达式变换成一些特定的形式，前边讲 述的约旦标准型不仅容易计算状态转移矩 阵，求解状态方程，而且对于可控性和可 观性的分析也是十分方便的。然而对于后 续要讲解的状态反馈和状态观测器来说， 需要新的形式，即：能控标准型和能观标 准型。
ɺ 一、定义:设 x = Ax + Bu ( x ∈ R n , u ∈ R p , A ∈ R n×n ) 若存在一分段连续控制向量 u (t ) ，能在 [t0 , t 内， f ] 将系统从任意的初态 转移至任意终态 ， x(t0 )
则称次状态是能控的。若系统的所有状 x(t f ) 态都是能控的，则称次系统是状态完全 能控的，简称系统能控。 实际上就是说：状态变量受输入量 的控制，则该状态变量可控，所有的状 态变量可控的话，就是系统可控。
− a1 ⋯ −an − 2
0 0 −1 B = Tc1 B = ⋮ 0 1
b1 ⋯ bn −1 ]
这样的状态空间表达式称为能空标准Ⅰ型，a i 是特征方程的系数。
例：将下列状态空间表达式变换成能控标准Ⅰ型
1 2 0 2 ɺ x = 3 −1 1 x + 1 u 0 2 0 1 y = [ 0 0 1] x
−2 0 1 ɺ x= x + 1 u 0 −3 y = [ 4 0] x
这两道题本身就是对角线型的系统矩阵，因此，系统能观的 充要条件就是：输出矩阵C中没有全为零的列。如果系统的 特征矢量相等，如下： x1
λ1 1 b1 ɺ x= x + b u 0 λ1 2 y = [ c1 c2 ] x
Tc 2 = B AB 2 4 16 A2 B = 1 6 8 1 2 12
0 0 − a0 0 0 −2 A = 1 0 − a1 = 1 0 9 0 1 − a2 0 1 0
1 0 0 1 0 0 1 = 0 0 1 − a1 − a2 −2 9 0
（4）写出能控标准Ⅰ型
同时有能控标准Ⅰ型可以很方便地写出系统的传递函数
b2 s 2 + b1s + b0 s 2 + 2s + 3 W (s) = 3 = 3 2 s + a2 s + a1s + a0 s − 9 s + 2
解：（1）判别系统的能控性
2 4 16 M = B AB A2 B = 1 6 8 1 2 12
2 4 16 2 4 16 2 4 16 1 6 8 ~ 0 8 0 ~ 0 4 −4 1 2 12 0 4 −4 0 0 8
式（3-2）表示的系统中，没有孤立的部分， 状态变量 x2 直接受控于 u (t ) ，状态变量 x1 通过 x2 等受控于 u(t) ，也就是说改变 u (t ) 即 可改变系统的状态。因此，该系统是完全能 控的。
注意到（3-1）中的A是对角线型，（3-2）中的A是 约旦标准型，因此，可总结出系统能控性的判别准 则如下： （1）图形判别法：系统模拟结构图中如果没有孤 立部分，系统是能控的，否则是不能控的。 （2）约旦标准型系统能控性判据：若系统矩阵A的 特征值互异，则系统能控性的充要条件为变换为约 旦标准型之后的控制矩阵的各行元素没有全为0的； 若系统的特征值为重根，则系统完全能控的充要条 件是变换为约旦标准型后的控制矩阵的最后一行元 素不全为0。
0 0 M = 0 1 1 −a2
2 −a1 + a2 1 −a2
系统的能控矩阵M的秩等 于3，即rankM=2，所以 系统是完全能控的。
3. 通过系统的输入和状态矢量间的传递函数来判别 系统的能控性 例：（1） （2）
−4 5 −5 ɺ x= x + 1 u 1 0
λ1 1 0 ɺ x= x + b u; y = [ c1 c2 ] x 0 λ1 2
（3-1） （3-2）
画出模拟结构图
∫
λ1
u
x1
Fra Baidu bibliotek
c1
b2
∫
λ2
x2
y
c2
c2
u
b2
∫
λ2
x2
∫
λ1
x1
c1
y
由图可以看出: (3-1) 的系统模拟结构 图中状态变量 x 1 是一个与 u (t ) 无任 何联系的孤立部分，也就是说 x 1 不 受 u(t) 的控制，因此，x1 是不能控的。 尽管 x2受到的 u (t ) 控制，但整个系统仍 然是不能控的，即该系统的状态是不 完全能控的。
2. 能控标准Ⅱ型 ɺ x = Ax + Bu 对于
y = Cx
是能控的，则存在线性非奇异变换
x = Tc2 x = B AB ⋯ An−1B x
使其状态空间表达式化成 其中
0 1 −1 A = Tc 2 ATc 2 = 0 ⋮ 0 ⋯ 0
ɺ x = Ax + Bu y = Cx
如图中的初始状态 P 1 点能在输入的作用 下被驱动到终端状 P 态 。显然可以有2 多种输入，只要能 够达到这个目的， 就说明系统是能控 的。
P 2
x2
x1
P 1
二、线性定常系统的能控性判别 线性定常系统的能控性判别
1. 图形判断和约旦标准型判断 例：已知系统的状态方程为：
λ 0 0 ɺ= 1 x x + b u; y = [ c1 c2 ] x 0 λ2 2
1 B = 0 ，C = CTc 2 = [1 2 12] 0
−1 s
−1
（1）的传递函数矩阵中有相同的零点和极点，系统不能控。 （2）的传递函数没有极点和零点可以对消的，所以系统能控。
3.2 线性连续定常系统的能观性
一、能观性的定义 对于任意给定的输入 u(t ) ，在有限观测时 间 t f > t0 ，使得根据 [t0 , t f ] 期间的输出 y (t ) 能 唯一地确定系统在初始时刻的状态 x(t0 ) ，则 称状态 x(t0 ) 是能观测的。若系统的每一个状 态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测 的，简称系统能观。
第三章
线性系统的能控性与能观性
3.1 线性定常连续系统的能控性
状态方程描述了输入 u (t ) 引起状态 x(t ) 的变化过程，输出方程描述了由状态变 化引起的输出 y (t ) 的变化。能控性和能 观性正是分析 u (t ) 对状态 x(t ) 的控制能 y(t)对状态 x(t ) 的反映能力。 力以及输出 要看看通过输入 u (t ) 是否可以控制状 态 x(t ) ，通过输出 y (t ) 是否可以观测到 状态 x(t ) 。
Wux ( s ) = ( sI − A) −1 B s + 4 −5 −5 = −1 s 1 −5( s − 1) 1 = ( s + 5)( s − 1) ( s − 1)
−1
0 ɺ x= 0 − a0
1 0 − a1
0 0 1 x + 0 u 1 −a2
s Wux ( s ) = 0 a0
0 0 −1 0 a1 s + a2 1 1 1 s = 3 s + a2 s 2 + a1s + a0 2 s
x2
∫
−3
x2
第一个图由y可以观测到 1 和 2 ，也就是说两个状态变量都对输出产生影响， 我们可以通过输出来获得全部的状态变量信息，第二个图只能观测到 x1 。
x
x
二、转换成约旦标准型的判别方法
例:
−2 0 1 ɺ x= x + 1 u 0 −3 y = [1 1] x
例：将下列状态空间表达式变换成能控标准型
1 2 0 2 ɺ x = 3 −1 1 x + 1 u 0 2 0 1 y = [ 0 0 1] x
解：（1）判别系统的能控性 （2）计算系统的特征多项式系数 （3）求变换矩阵 Tc 2 和 A，B，C
二、定常系统的能观性判别 1. 图形判别法 例： −2 0 1
ɺ x= x + 1 u 0 −3 y = [1 1] x
∫
u
−2 0 1 ɺ x= x + 1 u 0 −3 y = [ 4 0] x
∫
u
x1
y
x1
y 4
−2
−2
∫
−3
Tc1 = An −1 B
使其状态空间表达式化成 其中
0 0 −1 A = Tc1 ATc1 = ⋮ 0 −a0
C = CTc1 = [b0
ɺ x = Ax + Bu y = Cx
1 0 0 ⋯ 1 ⋯ ⋯ ⋱ 0 1 − an −1
0 ɺ= 0 x − a0
1 0 − a1
0 0 x + 0 u 1 1 − a2
1 A2 B = −a2 2 −a1 + a2
0 0 0 AB = 1 B= −a2 1