高等数学-导数的概念-教案

P(x0 x, y0 y)
那么割线 P0 P 的斜率为
tan y f (x0 x) f (x0 ) 如果当点 P 沿曲线趋
x
x
向于点 P0 时，割线 P0P 的极限位置存在，即点 P0 处的切
线存在，此刻 x 0, ，割线斜率 tan 趋向切线
P0 T
的斜率
tan a，即， tan
f '(1) 2
三、导数的几何意义
函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲 理 解 导 数 的 几 讲解 线 y = f (x) 在点 (x0 ，f (x0))处的切线的斜率,即： 何意义
tan f '(x0 ) ，图 P46
由此可知曲线 y = f (x)上点 P0 处的切线方程为：
讲解
20mins
辅以 PPT 展示
质点在时刻 t0 的瞬时速度为 v0
v
s(t0 t) s(t0 ) t
在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作 变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算
瞬时速度，首先在时刻 t0 任给时间一个增量 t ，考虑质点由
t0
到 t0
Vt
这段时间的平均速度：
lim
t 0
v
lim
t 0
s(t0
t) t
s(t0 )
．
2.曲线切线的斜率
定义 设点 P0 是曲线 L 上的一个定点，点 P 是曲线 L 上的动点，当点 P 沿曲线 L 趋向于点 P0 时，如果割线 PP0 的极限位置 P0T 存在，则称直线 P0T 为曲线 L 在点 P0 处的切
线
设曲线方程为 y =f(x)在点 P0(x0，y0)处的附近取一点
lim x0
f (x0
x) x
f (x0 ) .
二、导数的定义
定义: 设函数 y f (x) 在点 x0 的一个邻域内有定
义。在 x0 处给 x 以增量 x（ x 仍在上述邻域内)，函数 y
相应地有增量 y
f (x0
x)
f
(
x0
)
，如果
lim
x0
y x
存
在，则称此极限值为函数 y f (x) 在点 x0 处的导数.记作：总 结 概 括 导 数
在点 x0 处的右导数，记作 f’ +(x0) .
讲解
显然，f (x) 在 x0 处可导的充要条件是 f’ -(x0) 及 f ‘ +(x0) 存在且相等 .
定义 如果函数 f (x) 在区间 I 上每一点可导，则称 f
(x) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a, b]，则端点处可
导是指 f’+(a)、 f’-(b) 存在 .
f '(x) 或 y' 或 dy ，即
定义
x x0
dx xx0
讲解
f '(x) lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
此时也称函数 f (x) 在点 x0 处可导. 如果上述极
限不存在，则称 f (x) 在 x0 处不可导.
例 1、求函数 f (x) = x2 在 x0 = 1 处的导数，即 f / (1).
具体目标如下：
知识目标：
1. 理解导数的概念； 2. 理解导数的几何意义； 3. 把握可导与连续的关系。
技能目标：
素养目标：
1． 会用定义求函数在一点处 1．培养学生的数学思维
的导数；
能力和解决问题的能
2． 会求曲线的切线。
力；
2．培养学生严谨、求实
的作风。
教学 重点 难点
重点：导数的定义。 难点：理解导数的几何意义。
.
精品文档
解： f (x) lim y lim f (x x) f (x)
x0 x x0
x
lim sin(x x) sin x
x0
x
2cos x x sin x
lim
2 2
x0
x
x
lim
x0
cos
x
x 2
sin 2
x
cosx ，
2
(sin x)' cos x.
讲解 导函数的计算 方法
5mins
.
精品文档
解:第一步求 y ：
y f (1 x) f (1) (1 x)2 12 2x (x)2
会 用 定 义 求 函 讲解 数在一点处的
第二步求 y ：
导数
x
y 2x (x)2 2 x (x 0).
x
x
第三步求极限： lim y lim (2 x) 2 所以， x0 x x0
一、瞬时速度、曲线的切线斜率
1. 变速直线运动的瞬时速度 设一质点作变速直线运动，质点的运行路程 s 与时间 t 的
关系为 s s(t) ，求质点在 t0 时刻的瞬时速度． 分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量 t ，
那么质点在时刻 t0 与时刻 t0 t 间隔内的平均速度也就是 引入导数概念
巩固所学的 知识，培养自 学能力
10mins
8mins
8mins 7mins 2mins
.
B.板书课题，明确学习目标及主要学习内容 （略。详见教案首页）
板书(或 PPT 展 示)课题 明确本次课的 内容重点及目 标
简介 辅以 PPT 展示
时间
6mins 2mins
C.讲授新知
导数与微分是微积分的基本概念，要更好地理解导数 的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过 程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践 中都有非常广泛的应用。
v
s(t0
t) t
s(t0 )
.
精品文档
当时间间隔 t 很小时，其平均速度就可以近似地看作
时刻 t0 的瞬时速度．且 t 越小，接近的程度就越好．因此，
当 t 0 时，如果平均速度 s 的极限存在，那么，就把 t
这 个 极 限 称 为 物 体 在 t0 时 刻 的 瞬 时 速 度 ， 即 ：
v0
六、可导与连续的关系
定理 如果函数 y = f (x) 在点 x0 处可导, 则 f (x) 在点 x0 处连续，其逆不真.。
讲解 理解可导与 连续的关系
D.课堂小结
一、导数的定义 二、导数的几何意义 三、可导与连续的关系
E.布置作业
建立系统的 知识结构，明 确本节的重 点，对重点内 容进行复习 与提高。
y y0 f '源自文库x0 )( x x0 )
法线方程为：
y y0
f
1 ( x0
)
(
x
x0
)
( f (x0 ) 0) ，其中 y0 = f ( x0).
例 2 求曲线 y = x2 在点 (1, 1) 处的切线和法线方程.
解：从例 1
知 (x2 )' x1
2 即点
(1, 1)
会求曲线的切 处的切线斜率 线
为 2 ，所以,
切线方程 y – 1 = 2(x - 1).，即 y = 2 x - 1.法线方程
y 1 1 (x 1).，即 y 1 x 3
2
22
四、导数的物理意义
讲练结合
对于不同的物理量有着不同的物理意义. 例如变速直 了 解 导 数 的 物 简单介绍
线运动路程 s = s(t) 的导数，就是速度，即 s'(t0 ) v(t0 ) . 理意义
我们也常说路程函数 s(t) 对时间的导数就是速度.
五、导函数
一般地，函数 f (x) 的导函数
f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
例 4 求 f (x) = sin x 的导函数 ( x (,) ).
理解导函数的 定义
讲解
7mins 10mins
7mins 3mins 5mins
教学
教材、例子（幻灯片）、课件。
资源
教学后记
对培养方案、大纲修改意见 对授课计划修改意见 对本教案修改意见 需增加资源 其他
教研室主任：
.
系主任：
教务处：
精品文档
教学活动流程 教学步骤与内容
教学目标
教学方法
A.复习内容
1．极限的定义 2.极限的计算方法
对前面的知 识进行复习 与巩固，并 简述 为新知识和 新技能的学 习奠定必要 的基础。
精品文档
教学 合班 1：
专业
对象 合班 2：
专业
合班 3：
专业
教学 第二章 导数与微分
内容
（课题）
第一节 导数的概念
班 合计 班 合计 班 合计
人 授课 人 日期 人 地点
计划
2
学时
教学 目的
通过学习，学生能够：
1. 理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数； 2. 理解导数的几何意义，会求曲线的切线； 3. 理解可导与连续的关系。
即：
类似可得： (cos x)' - sin x.
定义 如果 lim f (x0 x) f (x0 ) 存在，则称此极
x0
x
限值为 f (x) 在点 x0 处的左导数，记作 f’(x0)；同样，如
果 lim f (x0 x) f (x0 ) 存在，则称此极限值为 f (x)
x0
x
理解左导数和 右导数的概念