圆锥曲线常见综合题型(整理)

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课

题

圆锥曲线综合复习 教学目标

1.

求轨迹方程 2.

直线与椭圆的位置关系 3.

弦长问题 4.

中点弦问题 5.

焦点三角形（定义和余弦定理或勾股定理） 6.

最值问题

【知识点梳理】

一、直线与圆锥曲线的位置关系

注意：直线与椭圆、抛物线联立后得到的方程一定是一元二次方程（二次项系数a 不为0），但直线与双曲线联立后得到的不一定是一元二次方程，因此需分类讨论。

即：

1． 一次方程，只有一个解，说明直线与双曲线相交，只有一个交点，此时直线与渐

进性平行；

2． 二次方程，⎪⎩

⎪⎨⎧>∆=∆<∆，有两个交点（相交），有一个交点（相切）无解，没有交点00,0

因此在做题过程中，若直线与双曲线

①没有交点：00<∆≠且a

②有一个交点：000=∆≠=且或者a a

③有两个交点：00>∆≠且a

此外，在设直线方程时，要注意直线斜率不存在的情况。

二、直线与圆锥曲线相交的弦长公式

设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，

且由⎩⎨⎧+==n

kx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx+c=0（a ≠0），Δ=b 2 －4ac >0。

则弦长公式为：

4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ⋅-+⋅+=-⋅+=。

三、用点差法处理弦中点问题

设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

【典型例题】

题型一 直线与圆锥曲线的交点问题

例1 k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22

236x y +=有两个公共点有一个公共点没有公共点

例2． 已知直线y=kx+2与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，求k 的取值范围。

变式1：过点P(0,1)的直线与双曲线1542

2=-y x 有且只有一个公共点，求直线的斜率的取值范围。

变式2：已知曲线C ：

x x y 22--=与直线l ：x+y-m=0有两个交点，则m 的取值范围是

题型二 直线与圆锥曲线的弦长问题(注意0>∆的条件)

例3． 已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6

π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长。

例4． 直线l 在双曲线12

32

2=-y x 上截得弦长为4，其斜率为2，求直线l 在y 轴上的截距m.

变式1：椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>，椭圆与直线280x y ++=相交于点P Q ，，

且PQ =，求椭圆的方程

变式2：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b

-=被椭圆C 截得的弦长为

且e =，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度.

题型三 运用点差法处理中点弦问题

例5． 过椭圆14

162

2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

例6． 直线y=x-1被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标是

变式1：过点P (－1,1)作直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为P 点，求AB 所在直线的方程和线段AB 的长度．

变式：椭圆22221(,0)x y a b a b +=>的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且P F 1⊥PF 2,,| P F 1|=3

4,,| P F 2|=3

14. （I ）求椭圆C 的方程；

（II ）若直线L 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直

线L 的方程。

例7． 中心在原点O 的椭圆12

2=+ny mx 与直线x+y-1=0交于P 、Q 两点，M 为PQ 中点，且22=

OM K ，则n

m 的值为

题型四 直线与圆锥曲线有关的最值问题

例8． 若点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线3x-2y-16=0的距离的最大值为

变式：点P 在抛物线2x y =上，求P 到直线x-y-2=0的最短距离。

例9． 已知P 是抛物线24

1x y =上的动点，F 为抛物线的焦点，定点A(12,6)，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时P 点的坐标。

例10． 若直线y=x+m 和椭圆14

22

=+y x 相交于A 、B 两点，当m 变化时，|AB|的最大值为（ ） A. 2 B.

554 C. 1054 D 。 105

8

例11． 已知椭圆C : 2

213x y +=，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为

23，求△AOB 面积的最大值.

变式1：过椭圆

的焦点的直线交椭圆A,B 两点 ，求面积的最大值 ．

变式2. 已知动点P 到定点)2,0F 的距离与点P 到定直线l ：2x =22

． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；

（2）设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若0EM FN =，求MN 的最小值．

题型五 有关轨迹问题

例12．求过定点(0,1)的直线被双曲线2

2

14y x -=截得的弦中点轨迹方程。