非线性系统概述和分析
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6
⑤线性系统自由运动的形式与系统的初始偏移无关。 ⑥非线性系统则不一样，自由运动的时间响应曲线可以随 着初始偏移不同而有多种不同的形式。
⑦线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况， 而这一周期运动是物理上不可能实现的。
⑧非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发 生一定频率和振幅的稳定的周期运动，这个周期运动在 物理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡，简称自 振。
24
1
• 系统的相轨迹图如右图所示， 奇点称为不稳定的节点。
非线性系统概述和 分析
1
8.1 非线性系统概述 8.2 相平面法 8.3 描述函数法
2
基本要求
① 明确非线性系统动态过程的本质特征。掌握系统中非线性部 分、线性部分结构归化的方法。
② 熟练掌握二阶线性方程的相轨迹，正确理解焦点、节点、中 心、鞍点、极限环等概念。
③ 熟练掌握由相轨迹计算时间的方法。已知相轨迹大致画出时 间响应曲线的图形。
• a 是线性范围， K为线性范围内的传递系数 （对于放大元件，也称增益）。
11
粗略地看，饱和特性的存在相当于大信号作用 时，增益下降。
饱和特性
饱和特性的等效增益
12
三、间隙
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的 一种常见的非线性因素。
•数学表达式为
x2
Kx1 bsi
x2 0
系统欠阻尼运动时的相轨迹
22
（3）过阻 尼 1运动
x(t)A 1eq1t A 2eq2t
A1
x&0 x0 2 1 2
A2
x&0 x01 1 2
x & (t) A 1 q 1 e q 1 tA 2 q 2 e q 2 t
23
（4）负阻尼运动
10
• 相轨迹图如右图所示，此时相 轨迹仍是对数螺旋线，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散 的。这种奇点称为 不稳定的 焦点 。
期运动的稳定性。
3
非线性问题概述
一.实际系统中的非线性因素
一些常见的非线性特性 4
• 除上述实际系统中部件的不可避免的非线性因 素外，有时为了改善系统的性能 或者简化系统的结构，人们还常常在系统中引 入非线性部件或者更复杂的非线性控制器。
• 通常，在自动控制系统中采用的非线性部件， 最简单和最普遍的就是继电器。
16
一、线性系统的相轨迹
• 设系统的微分方程为
x 2n x n 2x0
系统（7-12）的特征方程为
s22 nn 20 上述特征方程的根为 nn 21
上式所表示的自由运动，其性质由特征方 程根的分布特点所决定。
17
x&取
相
坐 标
d x& dt
( 2
n
x&
2 n
x)
、 ， 可
d
x
dt
x&
或化
பைடு நூலகம்
为 dx&2nx&n2x
： dt
x&
18
（1）无阻尼运(动0)
由方程，相轨迹方程为：
其中
x2 (t)
x&2 (t)
n2
A2
A
x
2 0
x&02
2 n
相轨迹所示，在相平面上是为一族同心的椭圆。 每个椭圆相当于一个简谐振动。
19
系统无阻尼运动时的相轨迹
相轨迹的方向如图7-24 中箭头所示。 相轨迹垂直穿过横轴。
④ 对简单的非线性系统能熟练写出相轨迹的解析表达式。能通 过等倾线方法作出相轨迹。
⑤ 对分段线性的非线性系统，能决定开关线,写出分区域相轨迹 的方程式。
⑥ 正确理解谐波线性化的条件及描述函数的概念。
⑦ 了解描述函数建立的一般方法，明确几种典型非线性特性负 倒描述函数曲线的特点。
⑧ 熟练掌握运用描述函数法分析系统中是否有周期运动, 判断周
g1nx
| |
x2
K x2
K
x1 x1
|b |b
间隙非线性特性 13
间隙特性的输入-输出波形
• 间隙对系统性能的影响也很复杂，一般说来， 它会增大系统的静差，使系统波形失真，过 渡过程的振荡加剧。
14
四、摩擦
摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个很重要 的非线性因素。它的影响，从静态方面看，相当于在执行机 构中引入了死区，从而造成了系统的静差，这一点和死区的 影响相类似。
直流电动机的方框图
摩擦力矩示意图
15
相平面法基础
• 相平面法 是一种求解二阶常微分方程的图解方法。
设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述
xf(x,x )
令 x1 x x2 x
则
dx2 f (x1, x2)
相平面:把具有d直x1角坐标（
x
,
x2 x&) 的平面叫做相平面。
相轨迹: 描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。
⑨线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分量也 是同频率的正弦函数，可以引入频率特性的概念并用它来 表示系统固有的动态特性。非线性系统在正弦作用下的输 出比较复杂。
7
常见非线性因素对系统运动特性 的影响
一.不灵敏区
不灵敏区又叫 死区，系统中的死区是由测量元件的
死区、放大器的死区以及执行机构的死区所造成的。
坐标原点处相轨迹的斜 率不能由该点的坐标唯一 地确定，这种点叫做奇点。
奇点(0,0)通常称为中心
20
（2）0欠 阻1 尼运动
x (t)A e n tsin (d t)
其中
A
x02
x&0 x0n d
2
arctg
x&0 x0n x0d
21
• 相轨迹如右图所示。从图 中可以看出，欠阻尼系统 不管初始状态如何，它经 过衰减振荡，最后趋向于 平衡状态。坐标原点是一 个奇点，它附近的相轨迹 是收敛于它的对数螺旋线， 这种奇点称为稳定的焦点。
5
非线性系统和线性系统有不同的运动 规律
① 在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统的结构和参 数，对常参量线性系统，只取决于系统特征方程根的分 布，而和初始条件、外加作用没有关系。
②对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念。必 须具体讨论某一运动的稳定性问题。 非线性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及参数 大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。 ③非线性系统一般理解为非线性微分方程所描述的系统。 ④线性系统的本质特征是叠加原理，因此非线性系统也可 以理解为不满足叠加原理的系统。
0
x2 Kx1sig1n
|x1| x|x1|
式中
1 sign1x1
x1 0 x1 0
8
斜坡输入时的系统输出量
包含死区的非线性系统
9
二、饱和
•饱和特性也是系统中最常见的一种非线性特性。
部件的饱和现象 10
理想化后的饱和特性典型数学表达式为：
• 式中：
Ka
x2
Kx1
Ka
x1 a | x1 | a x1 a
⑤线性系统自由运动的形式与系统的初始偏移无关。 ⑥非线性系统则不一样，自由运动的时间响应曲线可以随 着初始偏移不同而有多种不同的形式。
⑦线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况， 而这一周期运动是物理上不可能实现的。
⑧非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发 生一定频率和振幅的稳定的周期运动，这个周期运动在 物理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡，简称自 振。
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1
• 系统的相轨迹图如右图所示， 奇点称为不稳定的节点。
非线性系统概述和 分析
1
8.1 非线性系统概述 8.2 相平面法 8.3 描述函数法
2
基本要求
① 明确非线性系统动态过程的本质特征。掌握系统中非线性部 分、线性部分结构归化的方法。
② 熟练掌握二阶线性方程的相轨迹，正确理解焦点、节点、中 心、鞍点、极限环等概念。
③ 熟练掌握由相轨迹计算时间的方法。已知相轨迹大致画出时 间响应曲线的图形。
• a 是线性范围， K为线性范围内的传递系数 （对于放大元件，也称增益）。
11
粗略地看，饱和特性的存在相当于大信号作用 时，增益下降。
饱和特性
饱和特性的等效增益
12
三、间隙
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的 一种常见的非线性因素。
•数学表达式为
x2
Kx1 bsi
x2 0
系统欠阻尼运动时的相轨迹
22
（3）过阻 尼 1运动
x(t)A 1eq1t A 2eq2t
A1
x&0 x0 2 1 2
A2
x&0 x01 1 2
x & (t) A 1 q 1 e q 1 tA 2 q 2 e q 2 t
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（4）负阻尼运动
10
• 相轨迹图如右图所示，此时相 轨迹仍是对数螺旋线，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散 的。这种奇点称为 不稳定的 焦点 。
期运动的稳定性。
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非线性问题概述
一.实际系统中的非线性因素
一些常见的非线性特性 4
• 除上述实际系统中部件的不可避免的非线性因 素外，有时为了改善系统的性能 或者简化系统的结构，人们还常常在系统中引 入非线性部件或者更复杂的非线性控制器。
• 通常，在自动控制系统中采用的非线性部件， 最简单和最普遍的就是继电器。
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一、线性系统的相轨迹
• 设系统的微分方程为
x 2n x n 2x0
系统（7-12）的特征方程为
s22 nn 20 上述特征方程的根为 nn 21
上式所表示的自由运动，其性质由特征方 程根的分布特点所决定。
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x&取
相
坐 标
d x& dt
( 2
n
x&
2 n
x)
、 ， 可
d
x
dt
x&
或化
பைடு நூலகம்
为 dx&2nx&n2x
： dt
x&
18
（1）无阻尼运(动0)
由方程，相轨迹方程为：
其中
x2 (t)
x&2 (t)
n2
A2
A
x
2 0
x&02
2 n
相轨迹所示，在相平面上是为一族同心的椭圆。 每个椭圆相当于一个简谐振动。
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系统无阻尼运动时的相轨迹
相轨迹的方向如图7-24 中箭头所示。 相轨迹垂直穿过横轴。
④ 对简单的非线性系统能熟练写出相轨迹的解析表达式。能通 过等倾线方法作出相轨迹。
⑤ 对分段线性的非线性系统，能决定开关线,写出分区域相轨迹 的方程式。
⑥ 正确理解谐波线性化的条件及描述函数的概念。
⑦ 了解描述函数建立的一般方法，明确几种典型非线性特性负 倒描述函数曲线的特点。
⑧ 熟练掌握运用描述函数法分析系统中是否有周期运动, 判断周
g1nx
| |
x2
K x2
K
x1 x1
|b |b
间隙非线性特性 13
间隙特性的输入-输出波形
• 间隙对系统性能的影响也很复杂，一般说来， 它会增大系统的静差，使系统波形失真，过 渡过程的振荡加剧。
14
四、摩擦
摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个很重要 的非线性因素。它的影响，从静态方面看，相当于在执行机 构中引入了死区，从而造成了系统的静差，这一点和死区的 影响相类似。
直流电动机的方框图
摩擦力矩示意图
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相平面法基础
• 相平面法 是一种求解二阶常微分方程的图解方法。
设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述
xf(x,x )
令 x1 x x2 x
则
dx2 f (x1, x2)
相平面:把具有d直x1角坐标（
x
,
x2 x&) 的平面叫做相平面。
相轨迹: 描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。
⑨线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分量也 是同频率的正弦函数，可以引入频率特性的概念并用它来 表示系统固有的动态特性。非线性系统在正弦作用下的输 出比较复杂。
7
常见非线性因素对系统运动特性 的影响
一.不灵敏区
不灵敏区又叫 死区，系统中的死区是由测量元件的
死区、放大器的死区以及执行机构的死区所造成的。
坐标原点处相轨迹的斜 率不能由该点的坐标唯一 地确定，这种点叫做奇点。
奇点(0,0)通常称为中心
20
（2）0欠 阻1 尼运动
x (t)A e n tsin (d t)
其中
A
x02
x&0 x0n d
2
arctg
x&0 x0n x0d
21
• 相轨迹如右图所示。从图 中可以看出，欠阻尼系统 不管初始状态如何，它经 过衰减振荡，最后趋向于 平衡状态。坐标原点是一 个奇点，它附近的相轨迹 是收敛于它的对数螺旋线， 这种奇点称为稳定的焦点。
5
非线性系统和线性系统有不同的运动 规律
① 在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统的结构和参 数，对常参量线性系统，只取决于系统特征方程根的分 布，而和初始条件、外加作用没有关系。
②对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念。必 须具体讨论某一运动的稳定性问题。 非线性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及参数 大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。 ③非线性系统一般理解为非线性微分方程所描述的系统。 ④线性系统的本质特征是叠加原理，因此非线性系统也可 以理解为不满足叠加原理的系统。
0
x2 Kx1sig1n
|x1| x|x1|
式中
1 sign1x1
x1 0 x1 0
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斜坡输入时的系统输出量
包含死区的非线性系统
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二、饱和
•饱和特性也是系统中最常见的一种非线性特性。
部件的饱和现象 10
理想化后的饱和特性典型数学表达式为：
• 式中：
Ka
x2
Kx1
Ka
x1 a | x1 | a x1 a