学习三角函数的单调性的基本方法
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求三角函数的单调性的基本方法：
函数
sin()y A x k ωϕ=++的单调区间的确定，首先要看A 、ω是否为正，若ω为
负，则先应用诱导公式化为正，然后将ωx +φ看作一个整体，化为最简式，再结合A 的正负，在22,2
2
k x k k z π
π
ππ-
≤≤+∈和3
22,22
k x k k z π
πππ+
≤≤+∈两个区间内分别确定函数的单调增减区间。
1、求函数)
21
3sin(x y -=π在区间[-2π，2π]的单调增区间。
解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（sin(),0,0y A x A ωϕω=
+>>）的形式：
)
321sin()213sin(π
π--=-=x x y
⑵把标准函数转化为最简函数（
sin y A x =）的形式：
令123z x π=-
，原函数变为1sin()sin 23y x z π=--=-
⑶讨论最简函数sin y z
=-的单调性：
从函数
s i n y z =-的图像可以看出，
s i n
y z =-的单调增区间为
3
[2,2]2
2
k k π
πππ
+
+，
Z ∈K
。所以3
2222
K z K π
πππ+≤≤+，Z ∈K 即ππππ
π23
232122+≤-≤+K x K ， Z ∈K ∴ππππ3114354+≤≤+K x K ， Z ∈K
⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：
当k=0时，ππ3
11
35≤≤x
当k=1时，2223
33x ππ≤≤ 当k=-1时，ππ3137-≤≤-x
⑸在要求的区间内[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间：
因为[2,2]x ππ∈-，所以该函数的单调增区间为
ππ312-≤≤-x 和π
π23
5
≤≤x
2、求函
数
)26
sin(2x y -=π
在区间[0，π]的单调增区间。
解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（sin(),0,0y A x A ωϕω=
+>>）的形式：
sin(2)sin(2)
66y x x ππ
=-=--
⑵把标准函数转化为最简函数（
sin y A x =）的形式：
令26z x π
=-
，原函数变为sin(2)sin 6y x z π
=--=-
⑶讨论最简函数sin y z
=-的单调性：
从函数
s i n
y z =-的图像可以看出，
sin y z
=-的单调增区间为
3
[2,2]22k k π
πππ++，
Z ∈K 。所以32222K z K ππππ+≤≤+，Z ∈K
即3
222262
K x K ππ
πππ+≤-≤+，
Z ∈K
∴15
36
K x K ππππ+≤≤+， Z ∈K
⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：
当k=0时，1536
x ππ≤≤
当k=1时，411
33
x ππ≤≤ 当k=-1时，2136
x ππ-≤≤- ⑸在要求的区间内[0，π]确定函数的最终单调增区间：
因为[0,]x π∈，所以该函数的单调增区间为15
36
x ππ≤≤。
3、求函数)3
21sin(π+=x y 在区间[-2π，2π]的单调增区间。 解：
⑴把标准函数转化为最简函数（
sin y A x =）的形式：
令123z x π
=+
，原函数变为1sin()sin 23y x z π=+=
⑵讨论最简函数
sin y z
=-的单调性：
从函数
s i n y z
=-的图像可以看出，
s i n y z
=-的单调增区间为
222
2
K z K π
π
ππ-
≤≤+，
Z ∈K 。
即2232122ππππ
π+≤+≤-K x K ， Z ∈K
51
4433
K x K ππππ-≤≤+， Z ∈K
⑶计算k=0,k=±1时的单调增区间：
当k=0时，5133
x ππ-≤≤
当k=1时，713
33
x ππ≤≤ 当k=-1时，171133
x ππ-≤≤-
⑷在要求的区间内[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间： 又因为]2,2[ππ-∈X ，所以该函数的单调增区间为
51
33
x ππ-≤≤
4、求函数
2cos(2)13
y x π
=-+在区间[-π，π]的单调增区间
解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（cos(),0,0y A x A ωϕω=+>>）的形
式：
2cos(2)12cos(2)1
33y x x ππ
=-+=-+
⑵把标准函数转化为最简函数（
cos y A x K
=+）的形式：
令23z x π
=-
，原函数变为2cos(2)12cos 13y x z π
=-+=+
⑶讨论最简函数
2cos 1
y z =+的单调性：
从函数
2cos 1
y z =+的图像可以看出，
2cos 1
y z =+的单调增区间为
[2,2]k k πππ-，
Z ∈K ；
单调减区间为
[2,2]k k πππ+，
Z ∈K 。所以，单调增区
间：22K z K π
ππ
-≤≤，
Z ∈K