理论力学第十四章 虚位移原理

N C
δrC
FD
D
须注意：因为一个虚功方程只能解一个未知量，所以每解除一 次约束，只能让一个约束反力显露出来。
作业：
14-5、14-6
t1 瞬时，轮、 槽、滑块的位 置。 t1 瞬时，滑块 的虚位移。
气球膨胀过程中，蚂 蚁的实位移只有一 个。 在气球膨胀前的瞬时， 蚂蚁的虚位移有无穷多 个，膨胀后的瞬时，也 有无穷多个。
方法一：虚速度法 发生的，于是定义 v = δr
假想虚位移是在某很短的时间 dt内
/ dt 为虚速度。因为位移之比即速度之比，
所以可通过分析速度来建立虚位移间的关系。 δrB / δrA = vB / v A
由AB的速度瞬心P可知：
y A P
vB PB = = tanϕ v A PA
于是： δrB = δrA ⋅ tanϕ
r δ
Nδr = 0
3、固定支座 Y X
δr = 0
4、中间铰 δr N N/
5、轴承约束 YB XB YA XA
N δr + N δr = 0
/
δr = 0
6、无重刚杆（二力构件） N/ N δ rA + N /δ rB δr B θB = − Nδ rA cosθ A + N /δ rB cosθ B A B N ∵ δrA cosθ A = δrB cosθ B θA δrA ∴ N δ r + N /δ r = 0
δrA
δr1 B
M
N
C
D
A
δr1 3 = 给系统以虚位移。其中： δrA 8
FA
δrM
δr2
δr2 δr2 δrM 4 11 11 = ⋅ = ⋅ = δrA δrM δrA 7 8 14
δrA
A
δr1 B
M
N
C
D
F Aδ rA − F1δ r1 + F2δ r2 = 0 建立虚功方 程： 3 14 将各虚位移间的关系代入上面方程中，可解得： FA = F1 − F2 8 11
4π FN = F h
y A 例：图示椭圆规机构，连 杆AB长为l，杆、滑块的 重量和滑道、铰链上的摩 擦力忽略不计。求在图示 位置平衡时，主动力FA和 FB之间的关系。
δ rA vA
O
FA FB
ϕ
B
x
解： （1）研究对象：整体
（3）求FA和FB之间的关系：
δ rB
vB
（2）受力分析：给出虚位移，作虚功的力：FA和FB 建立虚功方程： F Aδ rA − FB ⋅ δ rB = 0 建立虚位移δ rA 和δ rB 间的关系：
证明：（必要性）
考虑一处于平衡状态的质点系。 对任意质点，有： Fi + FNi = 0 任给虚位移，使之做虚功，则：
Fi
mi
FNi
δ ri
Fi • δ ri + FNi • δ ri = 0
对整个质点系，则有： ∑ Fi • δ ri + ∑ FNi • δ ri = 0 在理想约束情况下有： 于是可得：
δ 所以，同样可以得到： rB = δrA ⋅ tanϕ
y
A
FA δrB = = tanϕ FB δrA
δ rA vA
O
FA FB
ϕ
B
x
δ rB
vB
总 结
虚功原理的解题对象：机构的平衡问题 虚功原理的解题步骤：
（1）明确研究对象：选取所要研究的机构； （2）给出虚位移，分析作虚功的力； （3）列写虚功方程，建立各虚位移之间的关系并求解。 其中的步骤（3）：建立各虚位移之间的关系，是解题的关键 和难点，主要采用的方法有： （1）机械传动原理（如螺旋机构、齿轮机构等）； （2）虚速度法——基本方法； （3）坐标变分法——对概念的要求以及技巧性较强；
ve va M δθ O vr
ω
B
A
δ rBC
C
F
θ
h
例：杆OA可绕铰链O转动， 通过滑块B带动水平杆BC在 水平滑道中运动。忽略摩擦 及各构件的重量，求平衡时 力偶矩M与水平拉力F间的 关系。
解 （1）研究对象：整个机构 ： （2）受力分析：给出虚位移，作虚功的力：M，F。 （3）建立虚功方程： M δθ − F δ rC = 0
当 ϕ = 90 时： δx A = δxB = −r ⋅ δϕ
0
δrB δxB 所以： δr = δx = 1 A A
说明：为了用使用坐标变分法求解虚位移间的关系，必须首先将 机构还原成任意的位置，建立坐标随某一参数（通常是角度）变 化的方程之后，才能进行变分运算。再将指定位置的具体参数代 入，得到指定位置的结果。经历一个由一般到特殊的过程。 相比之下，该题目更适合用虚速度法建立各虚位移间的关系。这 种方法可直接对指定瞬时进行研究：位置越特殊，计算越容易。 将虚位移间的关系代入虚功方程，求解可得：
δ rA vA
O
FA FB
ϕ
B
x
δ rB
vB
方法二：坐标变分法
y A = lsinϕ
xB = lcosϕ
δxB = −l ⋅ sinϕ ⋅ δϕ
分别求变分，可得： δy A = l ⋅ cosϕ ⋅ δϕ
δrB δxB = = tanϕ 因为： δrA δy A
将虚位移间的关系代入虚 功方程，求解可得：
第十四章
虚位移原理
虚位移原理应用虚功的概念分析系统的平衡问题.
§14-1 约束、虚位移与虚功 一 约束及其分类 约束 限制质点或质点系运动的条件。 表示约束的数学方程
约束方程
1. 几何约束与运动约束 几何约束：约束方程中不含速度项的约束
实 例
x θ y l M（x，y） 单摆
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
约束:无重刚杆.
x2 + y2 = l 2 约束方程:
解： （1）研究对象：系统整体
（2）受力分析：给机构一组虚位移，
δϕ δrC 作虚功的力：（F，F/），F N
2 Fl ⋅ δϕ − FN ⋅ δ rC = 0
δϕ / 2π = δ rC / h
δ rC = (h / 2π ) ⋅ δϕ
FN h ⎞ ⎛ ⎜ 2 Fl − ⎟δϕ = 0 2π ⎠ ⎝
xC = hcotθ + BC
将虚位移间的关系代入虚功方程，得：
h M δθ − F δθ = 0 2 sin θ
求解可得：
h M= F 2 sin θ
FA
A δ rA
O
例： 图示曲柄连杆滑块机构， 曲柄OA的长度为r ，连杆AB 的长度为l=2r 。忽略各构件自 身重量及各处摩擦。求保持机 B FB 构在图示位置平衡的力FA、FB δ rA 间的关系。
t2 瞬时，轮、槽、 滑块的位置。 t2 瞬时，滑块 的虚位移。
G
D
F
E
例：图示结构，各杆均以光滑铰链连接， 且有AC=CE=BC=CD=DE=GE=l。在铰链 G处作用一铅直方向的力F，各杆的重量 不计。求支座B 的水平约束反力。 解 将支座B在水平方向的约束解除，代 ： 以水平约束反力FB。将原结构转换成 为图示机构。 （1）研究对象：机构整体。
完整约束的一般形式:
•双面约束：约束方程为等式的约束 单面约束：约束方程为不等式的约束
x θ l M（x， y
y）
杆
x2 + y2 = l 2 x2 + y2 ≤ l 2
绳
g N ≥ 0,
λ N ≥ 0,
g N λN = 0
二 虚位移 虚位移：在给定瞬时，质点或质 点系为约束所允许的任何无限小 位移。
建立虚位移 δθ 和δ rBC 间的关系： 方法一：虚速度法 取滑块B为动点，杆OA为动系，则： v a = v e + v r
可得： va = ve / sinθ
h ω 所以： va = 2 sin θ
h ω v 因为：e = OB ⋅ ω = sinθ h δθ 于是可得： δrC = 2 sin θ
M（x,y,z)
A M O
δS A δS B
P x B
切 平 面
δr1
质点：δr 质点系:(δr1 ,δr2 ,…,δrn )
说明: 1.对给定瞬时而言(不同位置位移不同). 2.为约束所允许的(不能破坏约束). 3.无限小位移(不是有限位移). 4.任何无限小位移(不只一个;对质点 系来说不只一组).
其它各支座的约束反力，可通过解除相应支座后，由虚位移 原理解出。
FA
δrM
δr2
F1 3m
A
B
M
F2 4m
7m
N
F3 4m
11m
C
D
8m
A B
11m
8m
C D
FB
M
N
δrB
δrM
δr2
F1 3m
A
B
M
F2 4m
7m
N
F3 4m
11m
C
D
8m
11m
8m
FC
A B M N C D
δr2
A B M
δrN
ve va M δθ O vr
ω
B
A
δ rBC
C
F
θ
h
A M δθ O B
δ rBC
C
方法二：坐标变分法 F
θ
xB
h δxC = − 2 δθ h sin θ δrC δxC h 因 = = xC δθ δθ sin 2θ 为： h δθ 所以，同样可以得到： δrC = 2 sin θ
求变分，可 得：
x θ1 l1 M1（x1，y1） l2 y θ2 M2（x2，y2） 双锤摆 刚杆 l1, l2
约束:
约束方程
x1 + y1 = l
2 2 2
2 2 2
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = l
A M O B P x
xA2 + y A2 = r 2
( xB − x A ) + ( y B − y A ) = l
解 （1）研究对象：整个机构。 ： （2）受力分析：给出虚位移 作虚功的力：FA、FB
（3）建立虚位移δ rA和 δ rB 间的关系： 方法一：虚速度法 所以有： 方法二：坐标变分法 将机构还原到任意的位置 O 杆AB瞬时平动，A、B两点的速度相等。
δ rA = δ rB
ω
ϕ
A B A
’
x A = rcosϕ
δS A δS B
P x B
M（x,y,z)
A M O
切 平 面
δr1
三 虚功 作用于质点上的力在其虚位移上所作的功。 δW=Fδr 四、理想约束： 约束反力虚功之和为零的约束。
Σ δ W N = ΣN δ r = 0
那些约束为理想约束？ 回到动能定理里理想约束部分
1、光滑面 N r δ
2、可动支座 N
δθ
M θ
O
ϕ δ rB
B
F
将虚位移间的关系代入虚功方程，求解可得：
M = rF
F A B
δϕ
C
F
例：在螺旋压榨机的手柄AB上作用一 在水平面内的力偶(F,F’)，其力偶矩 等于2Fl。设螺杆的螺距为h，求平衡 时作用于被压榨物体上的压力。
δ rC
FN （3）求FN： 所以： 代入虚功方程，求解：
∑F
i
Ni
• δ ri = 0
∑ F •δ r
i
=0
例：已知OA=r， 求系统在图示位 置平衡时，力偶 M与力F的关系。
A
θ = 900
θ
ϕ = 30 0
B
M
O
ϕ
F
解： （1）研究对象：机构整体
（2）受力分析：作虚功的力：M，F （3）求M与F关系： 给出虚位移：
δ rA A
− Mδθ + F ⋅ δrB = 0 建立虚位移 δθ 和 δ rB 间的关系： δ rA = δ rB δ rA = r ⋅ δθ 所以：δ rB = r ⋅ δθ
2 2
2
yB = 0
运动约束：约束方程中含有速度项的约束
ω
vA
yA = r v A − rω = 0
x A − rθ = 0
r
2. 定常约束与非定常约束 •定常约束：约束方程中不显含时间t的约束 非定常约束：约束方程中显含时间t的约束
x 2 + y 2 = ( l0 − vt ) 2
2. 其它分类 •完整约束： 非完整约束：
A B
7、不可伸长柔索 θB TB B δ rB
TA A
θA
（同无重刚杆）
δ rA
8、只滚不滑 δφ F N
δr = 0
§14-2
虚位移原理
虚位移原理：对于具有理想约束的静止质点系，其平衡 条件是：该质点系所有主动力在系统的任何虚位 移上的虚功之和等于零。
∑ F •δ r
i
i
=0
投影式： ∑( Fxδx+Fyδy+Fzδz）＝0
FA = FB
F1 3m
A
B
M
F2 4m
7m
N
F3 4m
11m
C
D
8m
11m
8m
例：求图示组合梁支座A 的约束反力。 分析：结构是不能发生位移的。为应用虚位移原理求结构在某 支座处的约束反力，可将相应的约束解除，并代以对应的约束 反力。将结构变成机构，就可以使用虚位移原理了。 代以约束反力FA。 解：将原结构的支座A解除，
xA
xB
x A = rcosϕ xB = rcosϕ +
ω
A
ϕ
(2r )2 − (rsinϕ )2
B A
’
O
xA
分别求变分，可得： x A = −rsinϕ ⋅ δϕ δ
xB
⎡ 1 δxB = − ⎢sinϕ + rsin 2ϕ 4r 2 − r 2sin 2ϕ 2 ⎣
(
)
−
1 2
⎤ ⎥ rδϕ ⎦
C A
θ
B G
δ rG
y
D
（2）受力分析：作虚功的力F、FB： E （3）虚功方程： F δ rG + FB δ rB = 0 建立虚位移间的关系（ 坐标变分法）
F
A
θ
B
FB x
δ rB
y
D
G
δ rG
坐标变分法 E
F
xB = 2lcosθ