信号与系统(第四章连续时间傅里叶变换)

越宽，反之亦然。
对例5. 我们可以想到，如果 W ，则 将x趋(t)于一个
冲激。
6. 若 x(t) 1 则有 X ( j) 2 ()
因为 所以
1 W ( )e jtd 1
2 W
2
x(t) 1F 2 ()
四. 信号的带宽( Bandwidth of Signals ):
由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是 集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都 具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号 时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有 效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的 频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义 带宽。通常有如下定义带宽的方法:
即：模是偶函数，相位是奇函数
• 如果x(t) x(t) 即信号是偶函数。则
X ( j) x(t)e jtdt
x(t)e jtdt x( )e j dt X ( j)
表明： 实偶信号的傅立叶变换是偶函数。
又因为 X ( j) X *( j) 所以 X ( j) X *( j)
xe (t) X e ( j)
X e ( j) Re[ X ( j)]
xo (t) jXo( j) Xo ( j) Im[ X ( j)]
例: u(t) 的频谱:
u(t)
1
将u(t) 分解为偶部和奇部有
0
u(t) ue (t) uo (t)
t
ue (t)
ue
(t)
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
1 uo (t) 2 Sgn(t)
1, t 0
Sgn(t) 1, t 0
1/2
t
0
uo (t)
1/2
t
0
-1/2
ue (t) ()
X ( j) 0 eate jtdt eate jtdt
0
1 1 2a
a j a j a2 2
x(t)
1
t
0
对此例有 X ( j) X ( j) RX ( j) 0
结论：实偶信号的傅立叶 变换是实偶函数。此时可以 用一幅图表示信号的频谱。
2 1a
X ( j)
a
a
a
3. x(t) (t)
2
这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。
可见，周期信号的频谱是对应的非周期信号频 谱的样本；而非周期信号的频谱是对应的周期信 号频谱的包络。 二. 傅立叶变换的收敛
既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶 级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得 来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级 数的收敛相一致。
周期信号的傅立叶变换表示
这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成，
每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲
激强度正比于对应的傅立叶级数的系数
例1：x(t)
sin 0t
1 2j
[e
j0t
e
] j0t
X
(
j
)
j
[
(
0
)
(
0
)]
X ( j)
j
0
0
0
j
。 ak
例2：
x(t)
cos0t
1 [e j0t 2
x(t)
1
t
T1 0 T1
x(t)
1
t
2T1 0 2T1
X ( j)
2T1
T1
0
X ( j)
4T1
2T1
0
可见，信号在时域和频域之间有一种相反的关系。
5. X ( j) 1， W 0， W
(称为理想低通滤波器)
x(t) 1 W e jtd sinWt W Sa(Wt) W sinc(Wt )
1. X ( j) 下降到最大值的 1 2 时对应的频率范围, 此时带内信号分量占有信号总能量的1/2。
2. 对包络是 Sa(x) 形状的频谱，通常定义主瓣宽
度(即频谱第一个零点内的范围)为信号带宽。
以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出， 脉宽乘以带宽等于常数C (脉宽带宽积)。这清楚地 反映了频域和时域的相反关系。
x(t)
1
t
T1
T1
X ( j) T1 e jtdt 2 sin T1 2T1 sin T1
T1
T1
2T1
Sa(T1
)
2T1
Sinc(
T1
)
显然，将 X (中j的) 代之以 再k乘以0
周期信号的频谱
，即1是相应
T0
ak
2T1 T0
Sa(k0T1 )
2T1 T0
sin k0T1 k0T
不同脉冲宽度对频谱的影响
x%(t)
ak e jk0t
k
1 T0
k
X ( jk0 )e jk0t
1
2
k
X
(
jk0
)e
jk0t 0
当 T0 时，x%(t) x(t),
k0
x(t) 1 X ( j)e jtd
2
0
2
T0
d,
于是有：
傅立叶反变换
此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率
为连续的频谱。
由
T0ak
T0 / 2 x%(t)e jk0t dt
T0 / 2
如果令
lim
T0
T0ak
X ( j)
则有
X ( j) x(t)e jtdt
连续时间傅立叶变换
这与表周明期:信周号期傅信立号叶的级频数谱对就比是有与：它相a对k 应T1的0 X非( j周k期0 )
信号频谱的样本。 根据傅立叶级数表示：
连续分布、振幅为 1 X ( j的)复d指数信号之和。
由于
X
(
j
)
lim
T0
T0
2
ak
T0
lim
, f0
0
ak f0
具有频谱随频率分
布的物理含义，因而称 X ( j为) 频谱密度函数。
于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法
X ( j) x(t)e jtdt
x(t) 1 X ( j)e jtd
T0
kT1 )
(
2
k)
k
k
T0
X ( j)
2T1 1 T0 2
••
2 • •
T0
4.3 连续时间傅立叶变换的性质
讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示 信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和 运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。
1. 线性: Linearity
若 x(t) X ( j), y(t) Y ( j)
应该指出:这些条件只是傅立叶变换存在的充分条件。
这两组条件并不等价。例如： sin是t平方可积的， t
但是并不绝对可积。 和周期信号的情况一样，当 x的(t)傅立叶变换存在
时，其傅立叶变换在 的x(t连) 续处收敛于信号本身，
在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附 近会产生Gibbs 现象。
4.1 非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换
一.从傅立叶级数到傅立叶变换
我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期 增T大0 时，频谱的幅度随 的增T大0 而下降；谱线间隔随 的增大而T0减小；但频谱的包络不变。
再次考察周期性矩形脉冲的频谱图：
（a） （b）
20 ak
41
ak
0
(a) T0 4T1
x(t) 1
2
X ( j)e jtd
(
0 )e
jt d
e
j0t
这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。
若 x(t) e则jk0t X ( j) 2 ( k0 )
于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为
就有
x(t)
ak e jk0t
k
X ( j) 2 ak ( k0 ) k
e j0t ]
X ( j ) [ ( 0 ) ( 0 )]
X ( j)
0 0 0
例3： x(t) (t nT ) n
均匀冲激串
ak
1 T
T 2
(t)e
j 2 T
kt
dt
1
T 2
T
T 2 (t)dt 1
T 2
T
X ( j) 2 ( 2 k)
T k
T
x(t)
1
2 W
t
x(t)
(W / )
X ( j)
1
W
t
W 0 W
0
与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时域和频域
之间存在一种对偶关系。
对偶关系可表示如下:
x(t)
1
t
T1 0 T1
x(t)
(W / )
W
t
0
X ( j)
2T1
T1
0
X ( j)
1
W 0 W
同时可以看到，信号在时域和频域之间也有一种相
反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣
X ( j ) (t)e jt dt 1
0
(t)
t
X ( j)
1
0
这表明 (t)中包括了所有的频率成分，且所有频
率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲
激响应 h(t)才能完全描述一个LTI系统的特性， (t)
才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。
4. 矩形脉冲: x(t) 1, t T1 0, t T1
4.2 周期信号的傅立叶变换
到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示，
非周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描述方法
的不一致，在某些情况下, 会给我们带来不便。但
由于周期信号不满足 Dirichlet 条件，因而不能直
接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。
考查 X ( j) 2 ( 0 ) 所对应的信号
0
2 0 0 21
41
(b) T0 8T1
当 T0 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周 期的单个矩形脉冲信号。
当 T0 时 ,
0
2
T0
d,
k0 ,
由于
ak
2T1 T0
si也n k随0T1
k0T1
增大而T0减小，并最终趋于0，
考查 的变化，T0它ak在 时应该是T有0 限的。
于是，我们推断出:当 T0 时， 离散的频谱将演变
也有相应的两组条件：
1. 若
2
x(t) dt
则
X ( j) 存在。
这表明能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。 2. Dirichlet 条件
a. 绝对可积条件
x(t) dt
b. 在任何有限区间内， x(只t)有有限个极值点，
且极值有限。
c. 在任何有限区间内，x(t)只有有限个第一类间 断点。
• 若X ( j) Re[X ( j)] j Im[X ( j)] 则可得
Re[X ( j)] Re[X ( j)] 即实部是偶函数 Im[X ( j)] Im[X ( j)] 虚部是奇函数
• 若X ( j) X ( j) e jRX ( j) 则可得出
X( j) X( j) RX ( j) RX ( j)
三.常用信号的傅立叶变换：
1. x(t) eatu(t), a 0
x(t )
1
X ( j ) eate jtdt 1
0
a j
0
t
X ( j ) 1 a2 2
RX ( j) tg-1
a
X ( j)
1/ a
1
2a
a 0 a
RX ( j)
/2
a /4
a
/ 4
/ 2
2. x(t) ea t , a 0
信号与系统 (Signals and Systems)
第四章：连续时间傅里叶变换
本章内容:
连续时间傅里叶变换; 傅里叶级数与傅立叶变换之间的关系; 傅里叶变换的性质; 系统的频率响应及系统的频域分析.
4.0 引言 Introduction
在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号， 对非周期信号应该如何进行分解，什么是非周期信 号的频谱表示，线性时不变系统对非周期信号的响 应如何求得，就是这一章要解决的问题。
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋 于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信 号；反过来，如果将任何非周期信号进行周期 性延拓，就一定能形成一个周期信号。
我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋 于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶 级数在 T趋于无穷大时的变化，就应该能够得 到对非周期信号的频域表示方法。
则 ax(t) by(t) aX ( j) bY ( j)
2. 时移: Time Shifting
若 x(t) X ( j) 则 x(t t0 ) X ( j )e jt0
这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频 特性会增加一个线性相移。
3. 共轭对称性: Conjugate and Symmetry
t
2T T 0 T 2T
X ( j)
2
T
2 0 2 TT
x(t) (t nT ) n
X ( j) 2 ( 2 k)
T k
T
例4. 周期性矩形脉冲
x%(t)
ak
2T1 T0
Sa( 2
T0
kT1)
sin 2
T0
k
T1k
1
t
T0 T1 0 T1 T0
X ( j )
2 sin( 2
表明 X ( j) 是实函数。
• 若x(t) x(t)即信号是奇函数，同样可以得出:
X ( j) X ( j) 表明 X ( j) 是奇函数 X ( j) X *( j) 表明 X ( j) 是虚函数
• 若x(t) xe (t) xo (t) 则有:
X ( j) X e ( j) jX o ( j)
若 x(t) X ( j)
则 x*(t) X *( j)
由 X ( j ) x(t)e jtdt 可得
X *( j) x*(t)e jtdt
所以 X *( j ) x*(t)e jtdt
即
x*(t) X *( j)
• 若 x(t)是实信号，则 x(t) x*(t)
于是有: X ( j) X *( j)