弹性力学极坐标求解

1 E
1 E
21
E
（4-3）
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第四章 平面问题的极坐标求解
3.说明
（1）对于平面应变问题，同样只需将式（4- 3）中
的 E，μ换为： 的物理方程。
E
1 2
，
1
，即可得出平面应变问题
（2）极坐标中的边界条件，由于边界面通常均为坐
标面，即ρ面（ρ=常数）或φ面（φ=常数），使边
d
的位移分别为
u
u
d
和
u
u
d,
见图4-2（b）。同样考虑
PA
的转角α
是微小的，我们可以得出：
PA 的线应变： 0
转角：
AA PP u
PA
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第四章 平面问题的极坐标求解
PB 的线应变：
BB PP PB
1
u
转角：
u
需要说明的是： u 是由于环向位移而引起的环向线段的
uρ dρ ρ
B点相对于P点，要考虑由dφ而引起的增
量，位移分量应为 示。
u
u
d
，如图4-2（a）所
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第四章 平面问题的极坐标求解
又由于图4-2（a）中的β角很小，以 cos 1,sin ，于
是 PB PC。由此，我们得到：
PA 线段的线应变
AA PP PA
u
，转角α=0；
图 4- 2
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第四章 平面问题的极坐标求解
推导几何方程分为两步：一步考虑只有径向位移 u 的 情形；第二步再考虑只有环向位移 u 的情形。
（2）微分体只发生径向位移 u
设变形后，P点的位移分量为 u 则A点相对于P点，要
计入由于坐标增量 d 而引起的增量，位移分量应为
uρ
+
界的表示十分简单，所以边界条件也十分简单。例如，
给定的约束条件通常是径向位移值和环向位移值，可
以分别与
u建和立u等式。在应力边界条件中，通
常给出径向和切向的面力，也可以直接与对应的应力
分量建立等式。
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第四章 平面问题的极坐标求解
4.3 极坐标中的应力函数与相容方程
1.直角坐标系和极坐标系之间的变换关系
（1）坐标变量的变换
x cos, y sin （a）
反之 2 x2 y 2 , arctan y
x
（2）函数的变换
Байду номын сангаас（b）
只需将坐标变换式（a）或式（b）代入函数即可。
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第四章 平面问题的极坐标求解
（3）位移（矢量）的变换
设位移矢量为d，它在（x，y）和（ρ，φ）坐标系中的分量
转角。因为变形前的环向线切线垂直于OP，而变形后的
环向线切线垂直于0P，这两切线的转角应等于圆心
角POP u 。并且，这个转角使原直角APB增大，按
切应变的定义应为负值。这项也是在极坐标中才有的。
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第四章 平面问题的极坐标求解
（4）结论
当径向和环向位移同时发生时，在几何线性问题中；可 以应用叠加原理而得极坐标中的几何方程：
分别表示为（u，v）和 u , u ，如图 4-3所示。
图 4-3
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第四章 平面问题的极坐标求解
则位移分量的变换关系为：
u u cos u sin v u sin u cos
PB 线段的线应变
PB PB PB
u
，转角：
BB PP 1 u PB
注：
u
是极坐标中才有的，表示由于径向位移而引
起的环形线段的伸长应变。
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第四章 平面问题的极坐标求解
（3）微分体只发生环向位移 u
微分线段 PA, PB变形后成为PA，PB。 变形后P点的环
向位移 u，由于坐标的增量
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第四章 平面问题的极坐标求解
3.列平衡方程求解
由F 0 可得
d
d d
d
d
d
sin
d
2
d
sin
d
2
d
d
cos
d
2
d
cos
d
2
f dd
0
由 F 0 可得
d
d
cos
d
2
d
cos
d
2
d
d d
d
d
d
sin
d
2
d
sin
d
2
u
u
1
u
1
u
u
u
（4-2）
与直角坐标中的几何方程相比，除了上述指出的两项是 极坐标中特有的之外，其余的几项都是相似的。
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第四章 平面问题的极坐标求解
2.极坐标系中的物理方程
在直角坐标系中，物理方程是代数方程，且其中 x与y坐标线为正交。而在极坐标系中ρ与φ坐标 线也为正交，因此，极坐标中的平面应力问题的 物理方程可以相似地得出：
似由；于而正负φ面是上由的于切正应ρ面力面在积通大过于微负分ρ体面中而心产的生φ的方；向有 是投
影而引起的。由于 τ ρ = τ我 ρ们仍将这两个切应力只
作为一个未知函数处理。
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第四章 平面问题的极坐标求解
4.2 极坐标中的几何方程及物理方程 1.几何方程的推导
（1）建立坐标系 在区域内任取一点P（ρ，φ）作两个沿正标向的微分线段 PA=dρ和PB =ρdφ，图4-2所示。
第四章 平面问题的极坐标求解
4.1极坐标中的平衡微分方程
1.建立模型
在区域 A 的任一点P（ρ，φ），取出一个微分体， 建立的坐标系如图4-1所示。
图 4- 1
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第四章 平面问题的极坐标求解
2.正负符号的规定
（1）在极坐标中，ρ从原点出发，以向外为正； 而φ以 x轴正向到 y轴正向的转向为正； （2）应力的表示和符号规定与直角坐标相同，仍 以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负； （3）微分体上的体力为 f ρ 和 fφ ，表示于微分体的 中心，分别沿径向和环向，以沿正坐标方向为正， 反之为负。
2
f
0
（4-1）
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第四章 平面问题的极坐标求解
4.直角坐标与极坐标比较
1.在（4-1）的第一式中，前两项与直角坐标的相似；
而 σρ 项是由于正ρ面的面积大于负ρ面而产生的， - σ是
ρ
ρ
由于正负φ面上的正应力在通过微分体中心的ρ方向有投
影而引起的。
2.在式（4-1）的第二式中，前两项也与直角坐标的相
f dd
0
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第四章 平面问题的极坐标求解
化简以上两式，由于d
微小，可以把用
代替
，
sin dφ 取为 dφ ,把cos dφ 取为1另外在上式中，分别出现了 2一、二2、三阶微2 量，其中一阶微量互相抵消，二
阶微量保留，而将更高阶的三阶微量略去。化简
可得：
1
f
0
1