第九章偏微分方程差分方法

第9章 偏微分方程的差分方法

含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。

9.1椭圆型方程边值问题的差分方法

9.1.1 差分方程的建立

最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程

G y x y x f y

u

x u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）

G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程

（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件

第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件

),(y x n

u

β=∂∂Γ （9.3） 第三边值条件 ),()(

y x ku n

u

γ=+∂∂Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。

用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。

设G ={0

x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2

将G 剖分为网格区域，见图9-1。h 1，h 2分别称为x 方向和y 方向的剖分步长，网格交点（x i ，y i ）称为剖分节点（区域内节点集合记为G h ={（x i ，y i ）; （x i ，y i ）∈G }）,网格线与边界Γ的交点称为边界点，边界点集合记为Γh 。

现在将微分方程（9.1）在每一个内节点（x i ，y i ）上进行离散。在节点（x i ，y i ）处，方程（9.1）为

h i i i i i i i i G y x y x f y x y

u

y x x u ∈=∂∂+∂∂-),(),,()],(),([2222 （9.5） 需进一步离散（9.5）中的二阶偏导数。为简化记号，简记节点（x i ，y i ）=(i ,j )，节

点函数值u （x i ，y i ）=u (i ,j )。利用一元函数的Taylor 展开公式，推得二阶偏导数的差商表达式

)(0)]1,(),(2)1,([1),()(0)],1(),(2),1([1),(2

222

22

2

12122h j i u j i u j i u h j i y u h j i u j i u j i u h j i x u +-+-++=∂∂+-+-++=∂∂

代入（9.5）式中，得到方程（9.1）在节点(i ,j )处的离散形式

h j i G j i h h f j i u j i u j i u h j i u j i u j i u h ∈++=-+-+--+-+-

),(),(0)]1,(),(2)1,([1)],1(),(2),1([12

221,2

221

其中),(,i i j i y x f f =。舍去高阶小项)(02221h h +，就导出了u (i ,j )的近似值u i ,j 所满

足的差分方程

h j i j i j i j i j i j i j i G j i f u u u h u u u h ∈=+--+--

-+-+),(,]2[1

]2[1,1,,1,22

,1,,121 （9.6） 在节点(i ,j )处方程（9.6）逼近偏微分方程（9.1）的误差为)(2

22

1h h O +，它关于剖分步长是二阶的。这个误差称为差分方程逼近偏微分方程的截断误差，它的大小将影响近似解的精度。

在差分方程（9.6）中，每一个节点(i ,j )处的方程仅涉及五个节点未知量u i ,j ，u i +1,j ，u i -1,j ，u i ,j +1，u i ,j -1，因此通常称（9.6）式为五点差分格式，当h 1= h 2=h 时，它简化为

h j i j i j i j i j i j i G j i f u u u u u h

∈=-+++-

-+-+),(,]4[1

,,1,1,,1,12 差分方程（9.6）中，方程个数等于内节点总数，但未知量除内节点值u i ,j ,(i ,j )∈G h 外，还包括边界点值。例如，点(1,j )处方程就含有边界点未知量u 0,j 。因此，还要利用给定的边值条件补充上边界点未知量的方程。

对于第一边值条件式（9.2），可直接取u i ,j =α（x i ，y i ）， (i ,j )∈Γh （9.7） 对于第三（k =0时为第二）边值条件式（9.4）， 以左边界点(1,j )为例，见图9-2, 利用一阶差商公式

)(),1(),0(),0(11

h O h j u j u j n u +-=∂∂ 则得到边界点(0,j )处的差分方程

j j j j

j r u k h u u ,0,0,01

,1,0=+- （9.8）

联立差分方程（9.6）与（9.7）或（9.8）就形成了求解Poisson 方程边值问题的差分方程组，它实质上是一个关于未知量{u i ,j }的线性代数方程组，可采用第2，3章介绍的方法进行求解。这个方程组的解就称为偏微分方程的差分近似解，简称差分解。

考虑更一般形式的二阶椭圆型方程

G y x y x f Eu y

u D x u C y u B y x u A x ∈=+∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-),(),,(])()([

（9.9） 其中A (x ,y )≥A m in >0, B (x ,y ) ≥B m in >0, E(x ,y ) ≥0。引进半节点,12

12

1

h x x

i i ±=±

,22

12

1

h y y

i i ±=±

利用一阶中心差商公式，在节点（i ,j ）处可有

)(2),1(),1(),()

(])

,1(),(),(),1([1)()],2

1

)((),21)([(1),)((211

211,2

11,211211h O h j i u j i u j i x u h O h j i u j i u A h j i u j i u A h h O j i x u A j i x u A h j i x u A x j i j i +--+=∂∂+----+=

+-∂∂-+∂∂=∂∂∂∂-+