微积分 第七章 第二节 一阶微分方程

,
积分得 arctanu 1 ln(1 u2 ) ln | x | C , 2
或写成
x
1 u2
C earctanu 1
,
再将 u y 代入,得通解为 x
x2
y2
arctany
C1e
x
12
例8 求方程 y2 x2 dy xy dy 满足初始条件 dx dx
y(1) 1 的特解.
15
一阶线性微分方程的解法
1.线性齐次方程 dy P( x)dx, y
dy P( x) y 0. dx
dy y
P(
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x ) dx,
使用分离 变量法
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为
y
Ce
P(
x
)dx
.
这里记号 P( x)dx 表示P( x) 的某个确定的原函数.
16
2.线性非齐次方程
积分 ln | y | x2 C , 或写为 y eC ex2 , 记 C1 eC , 则通解为 y C1ex2 . 可简写为：分离变量, dy 2x dx ,
y 积分 ln y x2 lnC ,
则通解为 y C ex2 .
5
例3 求方程 dy cos x y cos x y 的通解.
1 x
(
sin x dx
C)
1 x
( cos
x
C)
.
18
例10 求方程 dy 2xy 2xex2 满足 y(0) 1 的特解. dx
解 通解为
y e 2 xdx[ 2 x e x2 e 2 xdx dx C ] e x2 [ 2x dx C] ex2 (x2 C) ,
由初始条件 y(0) 1 , C 1 , 即所求特解为 y ex2 ( x2 1) .
解
原方程变形为
dy y x
dx y x
y 1
x y
1
,
是齐次方程,
x
作变量代换 u y , y xu , dy u x du ,
x
dx
dx
代入原方程得 u x du u 1 , dx u 1
分离变量得
1 u 1 u2
du
dx x
,
11
分离变量得
1 u 1 u2
du
dx x
14
三、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式：
dy P( x) y Q( x) dx 当Q( x) 0, 上述方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上述方程称为非齐次的.
例如 dy y x2, dx x sint t 2 , 线性的, 非齐次
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
⑴ 方程①的任意两个解的和仍是①的解； ⑵ 方程①的任意一个解的常数倍仍是①的解； ⑶ 方程①的任意一个解加上方程②的任意一个解
是②的解；
⑷ 方程②的任意两个解之差是①的解 .
设 y ( x) 是方程②的一个特解,
Y ( x) 是①的通解, 那么方程②的通解为
y Y y . 27
设 y ( x) 是方程②的一个特解,
y x2,
d y2
x2 y ,
dx x
dx x
2
y
e
2 dx
x[
x2
e
2 dx
x dx
C]
x2(
x
C)
,
2
2
得原方程的通解为 y x4( x C )2 2
25
例15 求方程 ( y x2 ) y 4xy 0 ( y 0) 的通解.
解 把 y 作为自变量,原方程改写为
dx 1 x 1
线性方程
令 z y1n , 得 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x),
dx
求出通解后, 将 z y1n 代入即得原方程的通解 .
24
例14 求方程 dy 4 y x2 y 的通解 . dx x
解 两端除以 y，得 1 dy 4 y x2 , y dx x
d 2
y4
y p( x) y f1( x) f2 ( x)
的一个特解.
29
y2(
1
y3
1
y2
dy C )
y
1 2
(
1
7
y2
C)
2
7
y4 C y .
7 20
例12求方程( y2 6x) dy 2 y 0的通解. dx
解 方程化为
dx 3 x y
dy y
2
相 对 应 于x及 其 导 数 而 言 ， 是 一 次方 程 ， 故先求x( y). 其中
P( y) 3 , Q( y) y ,
两边积分 1 ln(1 y2 ) 1
2
2
1 x2 (1
x2
)
dx 2
1
2
(
1 x2
1 1 x2
) dx 2
1 2
x2 ln 1 x2
1 2
ln C
通解为
1
y2
C x2 1 x2
,
将 y(1) 2 代入得 C 10 ，
所求特解为
1
y2
10 x 2 1 x2
.
8
二、齐次微分方程
1.定义 形如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程. dx x
的通解.
解
分离变量:
e ydy 1ey
e x dx ex 1
,
两边积分: ln(e y 1) ln(ex 1) lnC ,
即所求通解为 (ex 1)(e y 1) C .
7
例5
求方程 y
1 y2 xy(1 x2 )
满足
y(1)
2
的特解.
解
y
1
分离变量， 1
y2
dy
x(1
x2 ) dx
19
例11 求方程 2 y dx ( x y4 )dy 0 的通解.
解 方程含有 y 4 ,故不是关于未知函数 y 的线性方程,
可把 y 视为自变量,把方程改写为
dx x 1 y3 , dy 2 y 2
此即一阶线性方程,解得通解为
x
e
1 dy 2y
(
1
y3
e
1 2y
dy
dy
C)
2
1
16
于是 f ( x) 1 x ex 1 ex 15 e3x .
4
16 16
23
3. 伯努利(Bernoulli)方程
dy P( x) y Q( x) yn dx 解法： 两端除以 yn，得
(n 0,1)
yn dy P( x) y1n Q( x), dx
凑微分， 1 dy1n P( x) y1n Q( x) , 1 n dx
dx u 1
u1
分离变量得 (1 1 )du dx ,
u
x
积分得：u ln | u | ln | x | C ,
或写成 u ln | xu | C ,
再将 u y 代入,得通解为 y ln | y | C ；
x
x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
于是得所求特解为 y ln | y | 1 . x
dx
2
2
解 dy cos x y cos x y 2sin x sin y ,
dx
2
2
22
dy 2 sin
y
sin
x 2
dx,
2
ln | csc y cot y | 2cos x C
22
2
为所求通解.
6
例4 求方程(e x y e x ) dx (e x y e y ) dy 0
解 两边求导，得 f ( x) 3 f ( x) x ex , 通解为
y e 3dx ( x ex e 3dx dx C ) e3x ( x e4x dx C )
e3x (1 x e4x 1 e4x C) 1 x ex 1 ex C e3x ,
4
16
4
16
在原方程中令 x 0 ，得 f (0) 1 ，故 C 15 ，
y
2
所以 x e P( y)dy Q( y) e P( y)dydy C
3 e
1 dy y
(
y 2
)
3 e
1 dy
y dy
C
e 3ln y y e 3ln y dy C
2
y 3
1 2y
C 为所求通解.
例13 设 f ( x) 连续且满足 f ( x) 3 x f (t )dt ( x 1)ex ， 0 求 f (x) .
作变量代换 u y , y xu , dy u x du ,
x
dx
dx
代入原方程得 u x du u 3 tanu , dx
分离变量得 du 3 dx , tanu x
积分得 ln(sinu) 3ln x lnC ,
即得原方程通解为 sin y Cx3 . x
10
例7 求方程 (x y) y (x y) 0 的通解.
dy P( x) y Q( x) dx
常数变易法：作变换
y
u(
x)
e
P(
x )dx
y u( x) e P( x)dx u( x) [ P( x)] e P( x)dx ,
将y和y代入原方程得u( x)
e
P
(
x
)dx
Q( x),
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C,
所以原方程的通解为:
的某个原函数,
则 G( y) F ( x) C 为微分方程的通解.
3
例1 求方程 dy 2xy2 的通解. dx
解
分 离变量,
dy y2
2 xdx
,
积分 1 x2 C , y
所以通解为
y
1 x2 C
.
4
例2 求方程 dy 2xy 的通解. dx
解 分离变量, dy 2x dx , y
第二 节
1
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、线性方程解的性质
五、小结与思考题
一、可分离变量的方程
称 g( y) dy f ( x) dx 为可分离变量的方程.
两边积分, g( y)dy f ( x)dx
设函数G( y) 和 F ( x) 是依次为g( y) 和 f ( x)
2.解法 作变量代换 u y ,
x
dy u x d u ,
dx
dx
即 y xu,
代入原式得
分离变量得
u
du x
f (u),
dx
du dx , 两边积分即得通解. f (u) u x
注意：须将u代回.
9
例6 求方程 dy y 3 tan y 的通解.
dx x
x
解 此题不能分离变量, 是齐次方程,
解
原方程变形为
dy dx
y2 xy x2
( y / x)2 , y x1
作变量代换 u y , y xu , dy u x du ,
x
dx
dx
代入原方程得 u x du u2 , dx u 1
即 x du u2 u u ,
dx u 1
u1
13
即 x du u2 u u ,
dy 4 y
4x
这是伯努利方程,两边乘以 x,化为线性方程
dx 2
1
x2 1
dy 2 y
2
得通解
x2
e
dy 2y
[
1
e
dy 2y
dy
C
]
2
y( y C) y C y
26
四 线性方程解的性质
齐次线性方程 y P( x) y 0 ① 非齐次线性方程 y P( x) y Q( x) ②
y
e
P
(
x
)dx
[
Q(
x
)
e
P
(
x
)dx
dx
C
]
17
y
e
P(
x
)dx
[
Q(
x
)
e
P
(
x
)dx
dx
C
]
例9 求方程 y 1 y sin x 的通解.
x
x
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
通解为
y
e
1 x
dx
(
sin
x
e
1 x
dx
dx
C
)
x
eln x ( sin x eln xdx C ) x
Y ( x) 是①的通解, 那么方程②的通解为
y Y y .
y
e
P ( x )dx
[
Q( x)e P( x)dxdx C ]
Ce
P
(
x
)dx
e
P
(
x
)dx
Q( x) e P( x)dxdx
对应齐次方 程的通解
非齐次方程特解
28
线性方程解的叠加原理 设 y1 ( x), y2 ( x) 分别是非齐次方程 y p( x) y f1( x) 和 y p( x) y f2( x) 的特解, 则 y1 ( x) y2 ( x) 为非齐次方程