数学：《3.2复数的四则运算(2)》(选修2-2)

3.2复数的四则运算

复习：Zj = a +bi , z2=c +di

© 土§ =（Q 土c） + （b 土d）i

z r• z2= ac + adi + bci + bdi1 =（QC -bd） + {ad +

bc）i

运算满足交换律、结合律、分配律

(a + bi) 一(c + di)— (a + bi)(c — di) (c + di)(c — di) (ac + bd) + (be - ad)i

c 2+

d 2

【探究】怎样判断一个复数是实数？ ① z 的虚部为0 a + bi

c +di

②Z二亍

【例1】已知复数zh + i ，求实数a,b使a z + 2b~z~= (a + 2z)2

a= —2, b= —1 ；

a二—4, b=2;

2•复数z 满足(1 + 2f)T= 4 + 3i 求z z=2+i

练习：

P63, 3, 4

实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立•即对

S Z?, z3GC及m, n WN*有:

二zm+n

(z m) n 二z^1门

0忆2)n=Z1n Z2n.

你能发现规律吗？有怎样的规律?

i 4n

=1,严+1 = i , •4n+3

【探究】i 的指数变化规律

•1

，i 2 = —1 i 3 = —i ，i 4

=1 •5

•6 •7 •8 •4M +2

【例2】求值r + f+r+AA +严06

解：原式=(z + z2+z3+z4) +

(z5 +z6+z7 + 产)+ ・・・+

(Z2001 +

•2002 ・-2003 ・上2004、. -2005 . -2006 严°2 +

严03 + 严04) + 严05 + I

=0 + z1 +z2= i — 1

练习:

P65, 1

例3：已知z =-冇，求z100 + z50+l的值。解：Z2 =——= _让4 =(-沪=_1 原式FHP+1

=(-1)25 + (-1)12(-0 + 1 =—1 — Z +1 = —Z

【练习】

1、在复数范围内解方程

(1) x2+4=0 (2) z2=2i

2、在复数范围内分解因式

(1) x2+ 4 (2) x4- y4

3、已知复数z的平方根为3 + 4i , 求复数z

・

4、求复数z =3 + 4i的平方根.

拓展

设关于兀的方程

兀？一(tan cc + i)x— (2 + Z) = 0 (a G R) 若方程有实数根，求锐角a的值，并求出方程的所有根。

角军：(%2 - x tan a - 2) + (-x - l)z = 0

%2— x tan cc— 2 = 0,—x—1 = 0 /. x = -l,tancif = 1

/. a = 45°