第六章 交通流体理论 (1)

2
交通流与流体流的比拟
物理特性 连续体
离散元素 变 动 量 量 质量m 速度v 压力p mv P=cmt
流体动力学系统 单向不可压缩流体
分子
交通流系统 单车道不可压缩车流
车辆 密度k 速度u 流量q ku q=ku
状态方程 连续性方程 运动方程
m (mv) 0 t x dv c 2 m 0 dt m x
第六讲 交通流体理论
1
第一节 概述

1955年，英国学者莱特希尔（Lighthill） 和惠特汉（Whitham）将交通流比拟为一 种流体，研究了在车流密度高的情况下的 交通流规律，提出了流体动力学模拟理论。

Richads也提出了类似的交通流理论。
这种描述交通流的一阶连续介质模型，被 称为LW理论或LWR理论。
uw
交通流回波现象
7
第三节交通波动理论
1、交通流回波现象
交通车流和一般的流体一样，当道路具有瓶颈形 式路段，车流发生紊乱拥挤现象，会产生一种与车流 方向相反的波，好像声波碰到障碍物时的反射一样， 阻止车流前进，降低车速。
uw
交通流回波现象
8
第三节交通波动理论
1、交通流回波现象
交通车流和一般的流体一样，当道路具有瓶颈形 式路段，车流发生紊乱拥挤现象，会产生一种与车流 方向相反的波，好像声波碰到障碍物时的反射一样， 阻止车流前进，降低车速。
uw
交通流回波现象
9
2、集散波的定义
列队行驶的车辆在信号灯交叉口遇到红灯后， 即陆续停车排队而集结成密度高的队列；绿灯启 亮后，排队的车辆又陆续起动而疏散成一列具有 适当密度的车队。
车流中密度经过了由低到高，再由高到低两 个过程，车流中两种不同密度部分的分界面经过 一辆辆车向车队后部传播的现象，称为车流的波 动。车流波动沿道路移动的速度，称为波速。
17
起动波的讨论

当车辆起动时， k1= kj ，即η1 =1
u2 u f (1 2 )
u2 2 1 ( ) uf
uw u f [1 (2 1)] u f 2 (u f u2 )

由于刚刚起动车速u2很小，同uf相比可忽略不记。 因此，排队等待车辆从一开始起动，就产生了 起动波，该波以接近uf 的速度向后传播。 ？？

交叉口排队长度: 排队车辆数:
28

绿灯信号亮时,等候车辆开始启动,车流量由零增加到设施 的最大流量(通行能力)qm,其相应的密度为k,速度为v。此 时形成一启动波(后退波),其波速为：

假定在t3-t2时间内(图2),波ωBC与ωAC均不发生变化,且 qm>qA,则波ωBC追上波ωAB后产生新的前进波ωAC,其大 小为：
34

表1 基于Greenbergv-k模型的f值
p 0.1 0.2 0.3
f 0.028 0.057 0.086
p 0.6 0.7 0.8
f 0.184 0.222 0.265
0.4
0.5
0.117
0.149
0.9
1.0
0.319
0.439
35
表2 不同红灯时间控制下的交叉口排队长度和消散时间
26
图2 信号交叉口的波型时距
图3 流量-密度(q-k)曲线
27
3 信号交叉口车辆的集结与消散

设一邻近交通信号的单车道,入口交通量为qA,密度为kA, 红灯信号时间为tr,绿灯时间为tg。
遇红色信号灯时,车辆开始在停车线前停止,车流密度达到 最大密度(即阻塞密度kj),一后退波向尾部传播,其波速:
14



uw<0，意味着：
q2 q1 0 k2 k1 0
或
q2 q1 0 k 2 k1 0

前一种情况交通流从高流量、低密度、较高速度 进入低流量、高密度、较低速度状态。由于此时 交通波向后运动，所以上游交通流状态将受到影 响而变差。 后一种情况交通流从高密度、低流量、低速度状 态进入到低密度、高流量、高速度状态。由于交 通波向后运动，将对上游交通状况有所改善，如 前方阻碍解除时会出现这种状况。 15
12


uw>0，意味着：
q2 q1 0 k 2 k1 0
或
q2 q1 0 k2 k1 0

前一种情况表示交通流从低流量、低密度、高速度区进入 到高流量、高密度、低速度区，但两种交通流界面向下游 运动，即高密度区并未向上游扩展。例如，当两条4车道 支路汇集到一条6车道主路时会出现这种状况。
20
1 交通波的生成
wAB
qB qA q kB k A k
图1 交通流状态
若ωAB>0，则为前进波；若ωAB=0，则为静止波；若ωAB<0，则为后退波。
21
2 信号交叉口交通波分析
从时间t0到t1时刻，信号为 绿色，其交通流状态如图2 中A域。在t1时刻，信号变 为红色，到达车辆将在停车 线前停止，并集结成一密集 的车队。状态A一分为三， 变成了状态A、D和B，并 在停车线处形成了3个交通 波，即前进波ωAD、静止波 ωDB和后退波ωAB。
0.4
0.5 0.6 0.7
33.9
43.3 53.3 64.4 76.9 92.6 128.
50.9
64.9 80.0 96.5 115 139 191
18

交通流从高流量、低密度、高速度区进入到低流 量、高密度、低速度区， 波速为负，为后退波。 交通流从低流量、高密度、低速度区进入到高流 量、低密度、高速度区， 波速为正，为前进波。 停车波或启动波都是后退波 。



交通波动理论可用于分析车流拥挤-消散过程。
19
第四节交通波理论应用
——信号交叉口车辆集结与消散分析
u2 k2 u1k1 uw (k2 k1 )
dq q u uw or w dk k
由q=ku， 得
11
4、交通波模型的意义

交通波描述了两种交通状态的转化过程, 代表了转 化的方向和进程。

uw>0，表明波面的运动方向与பைடு நூலகம்通流的运动方向 相同;
uw=0，表明波面维持在原地不动; uw<0，则说明波的传播方向与交通流的运动方向 相反。
图2 信号交叉口的波型时距
22
2 信号交叉口交通波分析
状态A、B和D持续到t2时刻， 信号又变为绿色，等候在停 车线处的车队开始启动并通 过交叉口。于是又形成了一 个新的流量状态C。当停车 线处的交通流从零增加到饱 和流时，静止波ωDB终止了， 但却形成了两种新的交通波 ωDC和ωBC。
图2 信号交叉口的波型时距
du du 2 k k( ) 0 dt dk x 3
k (ku) 0 t x
第二节 车流连续性方程

假设车辆顺次通过断面1和断面2的时间间 隔为Δt，间距为Δx。车流在断面1的流入量 为q，密度为k。车流在断面2的流出量为 q+Δq，密度为k-Δk。
站1
x
站2
4
根据物质守恒定律：流入量-流出量＝Δ x内 车辆数的变化，即：
ha=d+y=6.0+2.04=8.04m； kj=1000/ha=1000/8.04=124veh/km


最大流量为: q=3600/hm=3600/2.0=1800veh/h 取∆p=0.1,在0<p≤1范围内,由牛顿迭代法解算式可得x的数 值解(x有两个解,取其大值),再代入上述相应计算式可得红 灯时间分别为20s、30s和40s时的相应解,参见表1和表2。
后一种情况表示交通流从高流量、高密度、低速度区进入 低流量、低密度、高速度区，下游交通状态变好，但因交 通波向前运动，并不改善上游交通状态，如当交通流从一 条6车道的主干道分入两条4车道的支路时会出现这种状况。
13


uw=0的情形，此时只有q2-q1=0 。 这是一种流量相同、速度和密度不同的两种交通 流状态的转换。 当交通流量不大，道路由多车道变为少车道或反 之，都会出现这种状态。或者交通流停止运行状 态，如信号交叉口遇红灯时。 此时的交通波发生在瓶颈处，既不前移，也不后 退。
10
3、车流波速方程

假设一条路上有两个相邻的不同交通流密度区域， 由交通流量守恒可知，在时间t内通过界面S的车 数N可以表示如下：
N ur1k1t ur 2k2t

(u1 uw )k1 (u2 uw )k2
其中 u u u r1 1 w 因此
ur 2 u2 uw
AC
qm q A km k A
29

令入口车辆到达流量为:qA=p· qm 0≤p≤1
考虑到受信号灯的影响,交叉口处车流密度较大,故采用适 用于拥挤流状态的Greenberg速度-密度v-k模型进行解算。
此为关于kA的一元非线性 方程，一般数学方法无法 得到解析解，但可通过迭 代法(如牛顿法)求得kA的 数值解。
p
0.1 0.2 0.3
x
kA
L（m）
20
8.1 16.4 25.0
N（veh）
20
1 2 3
Td（s）
20
2.2 5.0 8.6
30
12.2 24.6 37.5
40
16.2 32.9 50.0
30
2 3 5
40
2 4 6
30
3.3 7.5 12.8
40
4.4 10.0 17.1
132. 0.93 54.3 2.28 31.2 3.98 20.5 6.04 14.6 8.52 10.8 11.5 8.1 15.2 20.0 26.8 45.6
图2 信号交叉口的波型时距
25
2 信号交叉口交通波分析
在t5时刻，红色信号灯亮， 第二个信号周期开始，交叉 口上游的交通波模式又周而 复始，而下游产生的交通波 ωAD在t6时刻与波ωAC相交， 形成了新的交通波ωCD，波 ωAC和ωAD则终止了。如此 下去，只要交通需求和信号 时间规律保持不变，交通波 模式将在每个信号周期中周 而复始地运行。
[q (q q)]t [k (k k )]x
或：
k q 0 t x
取极限可得：
又： 故：
k q 0 t x
q ku
k ( ku ) 0 t x
上式表明，当车流量随距离而降低时，车 流密度则随时间而增大。
5

如果路段上有交通的产生或离去，那么守恒方程 采用如下更一般的形式：

4、停车波和启动波

应用格林希尔治线性模型分析 交通波模型。
已知格林希尔治线性模型的表达式为:
ui u f (1 ki / k j )

为了便于推导，密度标准化，令：
i ki / k j
uw [k1u f (1 1 ) k2u f (1 2 )] k1 k2
uw u f [1 (1 2 )]
q k g ( x, t ) x t

其中，g ( x, t ) 是指车辆的产生（离去）率（每单位 长度、每单位时间内车辆的产生或离去数）。
6
第三节交通波动理论
1、交通流回波现象
交通车流和一般的流体一样，当道路具有瓶颈形 式路段，车流发生紊乱拥挤现象，会产生一种与车流 方向相反的波，好像声波碰到障碍物时的反射一样， 阻止车流前进，降低车速。
上式关于k取微分求极值,得:
30

令x=kJ/kA,x≥1,于是有kA=kJ/x, 因此有:


令 则有

31
车队消散的时间:
车队消散时间与 波速无关,仅与红 灯时间及车辆到 达率有关。当p=1 时,T为无穷大,将 造成堵车现象。
32
图2 信号交叉口的波型时距
33
算例：

假定车辆平均长度d=6.0m,交通阻塞时单车道车辆间的平 均距离y=2.04m，通过交叉口时车辆间的最小平均车头时 距hm=2.0s, 则平均车头间距ha及阻塞密度kj为:
23
2 信号交叉口交通波分析
状态D、C、B和A持续到t3 时刻，波ωAB和ωBC相交， 又形成了一个新的前进波 ωAC，而两个后退波ωAB、 ωBC则终止了。
图2 信号交叉口的波型时距
24
2 信号交叉口交通波分析
状态D、C和A持续到t4时 刻，前进波ωAC通过停车 线，此时交通流从饱和流 qm恢复为入口到达流qA， 可以认为消散完毕。
?
此为标准化密度波速公式
16
停车波的讨论

假设车队以区间平均速度u1行驶，在交叉口停车 线遇到红灯停车，此时k2= kj ，即η2 =1，有：
uw u f [1 (1 1)] u f 1

由于车辆运动时而产生的波，以uf η1的速度向后 方传播。经过t秒以后，将形成一列长度为uf η1 t 的排队车辆。