条件概率计算公式与举例

3 2 3 （1） P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) . 5 4 10 2 3 3 2 3 （2） P ( A2 ) P ( A1 A2 A1 A2 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 ) . 5 4 5 4 5 2 1 3 1 （3） P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) . 5 4 3 10
p( A | B)
p ( AB ) p( B)
(1)
为在“ B 发生下 A 的条件概率”,简称条件概率. 例 2[2] 设我们的样本空间 是由骰子的六个面组成,我们假定
p fi
对
1 , i 1,2，…,6 6
B {偶数} f 2 , f 4 , f 6 3 1 , p ( AB ) , 6 6
条件概率计算公式与举例
学生姓名： 数学与信息科学学院 指导教师 职称： 学号：20085031225 专业: 数学与应用数学
摘
要：条件概率是一个很重要的概念.本文对概率中的条件概率进行了简要分
析，并结合例题和模型分析研究其求解问题. 关键词：条件概率；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式
The Summarizations and Examples of Conditional Probability
球”.若连续从罐中取出三个球,其中有两个红球、一个黑球,则由乘法公式可得
P( B1 R2 R3 ) P( B1 ) P( R2 B1 ) P( R3 B1 R2 ) b rd rd c b r b r c d b r 2c 2 d b bd rd c P( R1 B2 R3 ) P( R1 ) P( B2 R1 ) P( R3 R1 B2 ) b r b r c d b r 2c 2d r rc b 2d P( R1 R2 B3 ) P( R1 ) P( R2 R1 ) P( B3 R1 R2 ) b r b r c d b r 2c 2d
所以(6)式中的条件概率均有意义,且按条件概率的定义,(6)式的右边等于
p ( A1 )
从而(6)式成立.
p ( A1 An ) p ( A1 A2 ) p ( A1 A2 A3 ) p ( A1 An ) , p ( A1 ) p ( A1 A2 ) p ( A1 An 1 )
4.全概率公式
设 B1 , B2 , Bn 为样本空间 的一个分割,即 B1 , B2 , Bn 互不相容,且
i 1
Bi ,如果 p ( Bi ) 0, i 1,2, , n ,则对任一事件 A 有 p ( A) p ( Bi ) p ( A Bi ) .
n 1 n 1
p ( | B )
下面来证明(3).
p ( | B ) 1. p( B)
因为 A1 , A2 ,…, An ,…互不相容,所以 A1 B , A2 B ,…, An B ,…也互不相容,故
p ( An | B )
n 1

p (( An ) B )
br 2 . (b r )3
4
(3)当 c 0, d 0 时,称为传染病模型.此时,每次取出球后会增加下一次取到 同色球的概率或,换句话说,每次发现一个传染病患者,以后都会增加再传染的概率. 与(1)(2)一样,以上三个概率相等,都等于
P( B1 R2 R3 ) = P( R1 B2 R3 ) = P( R1 R2 B3 ) =
i 1 i 1
n
n
再将 p ( ABi ) p ( Bi ) p ( A Bi ), i 1,2, , n 代入上式即得(7)式. 注 对于全概率公式要注意以下两点: (1) 全概率公式的最简单形式,假如 0 p ( B) 1 ,则
p ( A) P( B) P( A B) P( B ) P( A B ) .
p(A|B) 0 , p(|B)=1 .
且若其中 A1 , A2 ,…, An ,…互不相容,则
(2) (3)
p ( An | B ) p ( An | B ) .
n 1 n 1


(4)
2
证 由条件概率的定义,(2)式是非常明显的. 对于(3)式,我们注意到 B B ,即有 p ( An | B ) p ( An | B ) .
(2)条件 B1 , B2 , Bn 为样本空间的一个分割,可改为 B1 , B2 , Bn 互不相容, 且 A Bi ,(7)式仍然成立.
i 1 n
5.敏感性问题调查
学生阅读黄色书刊和观看黄色影像会严重影响其身心健康发展,但这些属 于个人隐私行为.现要设计一个调查方案,从调查数据中估计出学生阅读黄色 书刊和观看黄色影像的概率 p . 对这类敏感性问题的调查方案,关键是要使被调查者愿意做出真实回答又 能保守个人秘密.经过多年的研究和实践,一些心理学家和统计学家设计了一 种调查方案,在这个方案中,被调查者只需回答以下两个问题的一个,且只需 回答“是”或“否”. 问题 A:你的生日是否在 7 月 1 日之前? 问题 B:你是否看过黄色书刊或黄色影像? 这个调查方案看似简单,但为了消除被调查者的顾虑,使其确信参加这次 调查不会泄露个人隐私,在操作上有以下关键点: (1)被调查者在无旁人的情况下独自一人回答问题; (2)被调查者从一个罐中随机抽取一只球,看过颜色后即放回,若抽到白球, 回答问题 A;若抽打红球,则回答问题 B,且罐中只有白球和红球. 被调查者无论是回答问题 A 或是问题 B,只需在答卷上认可的方框内打钩,
率，它与概率 p ( A) 是不同的两个概念. （3）若对上述条件概率的分子分母各除以 4，则可得到
2 .这就是条件概 3
p( A | B)
2 / 4 p ( AB ) . 3/ 4 p( B)
其中交事件 AB =“家有一男一女两个小孩”. 这个关系具有一般性，即条件概率是两个无条件概率之商. 条件概率的定义 1[1] 设 A 与 B 是样本空间 中的两事件,若 p ( B ) 0 ，则称
n 1

P( B)

P ( ( An B ))
n 1

P( B)


n 1
p ( An B ) p ( An | B ) . n 1 P( B)
2.乘法公式
（1） 若 p ( B ) 0 ,则
p(AB)=p(B)p(A|B) .
（2） 若 p ( A1 A2 An 1 ) 0 ，则
i 1 n
n
(7)
B1 AB1 B2
5
Bn
A
AB2
ABn

证 因为
A A A( Bi ) ( ABi ) ,
i 1 i 1
n
n
且 AB1 , AB2 , , ABn 互不相容,所以由可加性得
p ( A) P ( ( ABi )) p ( ABi ) ,
引言
条件概率是概率中的一个重要概念.在实践中，常遇到这样的问题：设 A 和 B 都是在 条件 下发生的随机事件， 要求出在事件发 B 生的条件下事件 A 的概率， 这个概率我 们记作 p ( A | B ) ，本文针对这一问题，明确给出了条件概率的乘法公式、全概率公式 和相类似的贝叶斯公式， 并通过实例来说明条件概率乘法公式在概率论学习过程中的 重要意义.
（4） P ( A1 A2 )
3 P ( A1 A2 ) P ( A2 ) P ( A1 A2 ) 1 10 0.5 . 3 P ( A2 ) P ( A2 ) 5
3.罐子模型
设罐中有 b 个黑球, r 个红球,每次随机取出一个球,取出后将原球放回,还加进
c 个同色球和 d 个异色球.记 Bi 为“第 i 次取出的是黑球”, R j 为“第 j 次取出的是红
(5)
p ( A1 A2 An ) p ( A1 ) p ( A2 A1 ) p ( A3 A1 A2 ) P ( An A1 A2 An 1 ) .
证 由条件概率的定义
（6）
p( A | B)
移项即得（5）式.下证(6)式.因为
p ( AB ) ， p( B)
p ( A1 ) p ( A1 A2 ) p ( A1 An 1 ) 0 ,
3 ; 4
（ 2 ） 已 知 事 件 B = “ 家 中 至 少 有 一 个 男 孩 ”发 生 ， 再 求 事 件 A 发 生 的 概 率 为
p( A | B)
2 . 3
这是因为事件 B 的发生，排除了 gg 发生的可能性，这时样本空间也 随之改为
1
B bb, bg , gb ,而在 B 中事件 A 只含有 2 个样本点， 故 p( A | B)
与 A f 2 ,我们有 AB f 2 .固 p ( B ) 由(1)，得到
p( A | B)
p ( AB ) 1 . p( B) 3
1 因而在假定得到偶数的条件下,出现事件 { f 2 } 的概率等于 . 3
注 条件概率 p(AB) 是在给定 B 下讨论事件 A 的概率,那么概率的性质对 p(.|B) 而言是否都成立呢?为此我们只要证明
以上概率与黑球在第几次被抽到有关. 罐子模型也称为波利亚模型,这个模型可以有以下各种变化: (1)当 c 1, d 0 时,即为不返回抽样.此时前次抽取结果会影响后次抽取结果. 但只要抽取的黑球与红球个数确定,则概率不依赖其抽取的次序,都是一样的,此模型 中有
P( B1 R2 R3 ) = P( R1 B2 R3 ) = P ( R1 R2 B3 )
br (r c) . (b r )(b r c)(b r 2c)
从以上(1)(2)和(3)中可以看出: 罐子模型中只要 d 0 ,则以上三个概率都相等.即 只要抽取的黑球与红球个数确定,则概率不依赖其抽取的次序,都是一样的.但当
d 0 时就不同了,见下面(4).
(4)当 c 0, d 0 时称安全模型.此模型可解释为:每当事故发生了(红球被取出), 安全工作就抓紧一些,下次再发生事故的概率就会减少;而当事故没有发生时(黑球被 取出),安全工作就放松一些,下次再发生事故的概率就会增大.在这种场合下,上述三 个概率分别为
wenku.baidu.combr (r 1) . (b r )(b r 1)(b r 2)
(2)当 c 0, d 0 时,即返回抽样.此时前次抽取结果不会影响后次抽取结 果.故上述三个概率都相等,且都等于
P( B1 R2 R3 ) = P( R1 B2 R3 ) = P( R1 R2 B3 ) =
b rd br brd b bd P( R1 B2 R3 ) br brd r r P( R1 R2 B3 ) br brd P( B1 R2 R3 )

rd , b r 2d rd , b r 2d b 2d . b r 2d
例 3 3 盒中装有 5 个产品, 其中 3 个一等品， 2 个二等品, 从中不放回地取产品, 每次 1 个,求 （1）取两次,两次都取得一等品的概率; （2）取两次,第二次取得一等品的概率; （3）取三次,第三次才取得一等品的概率;
3
（4）取两次,已知第二次取得一等品,求第一次取得的是二等品的概率. 解 设 Ai 为第 i 次取到一等品.
Abstract: Conditional probability is a very important conception in mathematics. In this paper, we summarize some important formulas of Probability Theory, and analyze the material examples and models. Key words: Conditional probability; Formula of multiplication; Complete probability formula; Byes' formula
1.条件概率的应用
例 1 考察有两个小孩的家庭，其样本空间为 bb, bg , gb, gg ,其中 b 代表男 孩, g 代表女孩, bg 表示大的是男孩,小的是女孩.其他样本点可作类似说明. 在 中 4 个样本点等可能的情况下，我们来讨论如下事件的概率. （1）事件 A =“家中至少有一个女孩”发生的概率为 p ( A)