第4章__控制算法--模拟调节器的离散化方法

(5.7)
因 T>0
Z为复数 z=σ+jω
Re( z 1) Re( 1 j) 0 10 1
也就是S平面稳定的极点，映射到Z平面变为σ<1的平面。 如图所示。
21
jω σ
S平面
jImz
σ<1
σ=1 Rez
Z平面
22
前向差分法有可能将S平面的稳定极点映射到Z平面的单 位圆外 ——原来设计的在模拟条件下稳定的系统，利用前向差分转变 为数字控制器后，系统可能变得不稳定。 故一般不用前向差分法。
D(z) GC (s) s 2z1 T z1
(4.4)
有了D（Z），就可以得到调节器的差分方程——就可以用计 算机程序来实现。
33
还有一些离散化方法： 脉冲响应不变法 阶跃响应不变法 零极点匹配映射法 教材上没有介绍，需要时，自己找相关资料，我们就不讨论了。
34
4.2 数字PID控制器的设计
PID控制规律 PID控制规律的离散化 PID控制规律的脉冲传递函数 数字PID控制器
U((k-1)T)
U((kT) U((k-1)T) U(kT)
T
T
T
16
上式右侧两项在数值上可用各种方法来处理，根据近似处理方 法的不同，就得到几种不同的离散化方法
– 前向差分法 – 后向差分法 – 双线性变换法
17
（1）前向差分法
前向差分法是一种数值积分，即用(K-1)T时刻的值所形成的 矩形面积近似项积分 。
6
4.1.2 模拟化设计步骤
（1）设计模拟控制器 模拟控制器的设计——自控原理学过 根据要求的性能指标，配置零极点。
r(t) + R(s) -
模拟控制器 u(t) D(s)
被控对象 G(s)
y(t) Y(s)
当前使用最多的是PID控制算法。 对于PID控制算法，就变为主要是选择合适的比例系数、积 分系数、微分系数问题
模拟控制器的离散化，有 差分法， 脉冲响应不变法 阶跃响应不变法 零极点匹配映射法
我们主要讨论差分法。
12
差分法的基本思想
对于线性定常系统，假设其模拟调节器
Gc
(s)
s
1
a
它对应的时域表达式
du(t) au(t) e(t) dt
两边积分
t
0
du(t dt
)
dt
a
t
0
u(t
)dt
t
0
e(t
)dt
前向差分法有可能将S左半平面的稳定极点映射到Z平面单位 圆外成为不稳定极点，故实际应用中不能采用前向差分法作为 离散化方法 。
经前向差分可写成
u(kT) u[(k 1)T ] au[(k 1)T ]T e[(k 1)T ]T (1 aT )u[(k 1)T ] e[(k 1)T ]T
u(kT ) u(kT T ) aTu(kT ) Te(kT )
它的Z变换
U (z) z1U (z) aTu(z) TE(z)
U (z)
T
1
D(z) E(z) 1 at z1 1 z1 a
24
T
类似于前向差分法，如果令
s 1 z1 (4.9) T
则D(z)在形式上与GC(s)相同，可认为从s平面到z平面的映 射函数为：
D(z) GC (s) s 2 z1 T z1
考察该映射对稳定性的影响。
(4.4)
Re(s) Re( 2 z 1) 0 T z1
T 0
Re( z 1) 0
z1
31
令z=σ+jω，带入
Re( z 1) Re( 1 j )
z1
1 j
也就是
Re(
2
(
2 1 j2 1)2 2
对于模拟调节器，一般使用P、PI、PID调节器。 离散化方法：差分法、Z变换法。
8
（2）正确的选择采样周期
要用计算机实现控制器的功能，就需要选择采样周期，对 模拟控制器进行离散化描述。 采样周期的选择—— 教材64页给出了4点原则 （1）从条件品质考虑——希望采样周期短。一般在过渡过程 时间内，采样6~15次。 （2）从快速性和抗干扰考虑——希望采样周期短 （3）从成本和计算机的工作量考虑——希望采样周期长点 （4）从计算精度考虑——希望采样周期T不应太短，否则对于 有限的计算机字长，前后两次采样差值太小，反而导致调节作 用变弱。
——可认为公式 (5.7) 是从s平面到z平面的映射函数.
D(z) GC (s) s z1 T
这样的映射是否稳定？ ——也就是说，如果稳定的模拟控制器GC(s)，变换到Z域 是否仍然稳定？
20
前向差分法对系统稳定性的影响
对于公式4.6
s z1 T
模拟系统稳定，——要求系统极点位于S左半平面
即
z 1 Re (s) 0 Re( T ) 0 Re( z 1) 0
D(z) GC (s) s1z1 (4.10) T
下面来讨论后向差分法对稳定性造成影响？
25
后向差分对稳定性的影响
类似于前向差分法
1 z1
z 1
Re(s) Re( ) Re( ) 0
T
Tz
QT 0
Re( z 1) 0 Re( z 1) 0
Tz
z
对于复数z, z=σ+jω
z 1
j 1
35
4.2.1 PID 控制 （1） 模拟PID控制
r(t) + e(t)
调节器
u(t) 被控对象
y(t)
-
PID控制，就是控制器对误差信号e(t)进行比例(P)、积分（I）、 微分(D)运算，得到输出控制信号u(t)。
e(t) r(t) y(t)
u(t
)
KP
[e(t)
1 TI
t 0
e(t)dt
)
0
2 2 10 即 2 2 1
S平面稳定的极点，映射到Z平面在单位圆内。 双线性变换是稳定的。
32
对于任何一个已经设计好的模拟调节器Gc(S)，我们可以使用 后向差分法、或双线性变换法，将模拟调节器GcSe）转换为Z 变换域的脉冲传递函数D（Z）
D(z) GC (s) s1z1 (4.10) T
18
它Biblioteka BaiduZ变换为：
U (z) (1 aT )z1U (z) Tz1E(z)
它的Z变换为：
D(z)
U(z) E(z)
Tz 1 1 (1 aT )z1
T z 1 aT
1 z 1 a
T
它与 前面的 模拟调节器
Gc (s)
s
1
a
具有相似的形式
19
如果令
s z 1 T
(4.6)
在采用前向差分时。则模拟调节器GC(s)与数字调节器D(z)具 有相同的形式。
转换成数字控制器一般采用以下两种方法 差分法 z变换设计法
5
4.1.0 基本设计方法 模拟系统设计——模拟系统原理框图为：
r(t) + R(s) -
模拟控制器 u(t) D(s)
被控对象 G(s)
y(t) Y(s)
由于人们首先熟悉模拟系统的设计，同时研究了许多方便的设 计方法，因此，很多情况我们首先设计模拟控制系统，然后再 转换成数字控制系统 ——主要是控制器GC(s)的转换。
使用后向差分，原来稳定的模拟控制系统变换为数字控制 系统后，仍然是稳定的。
27
S平面
-1
0 1/2
1
Z平面
28
（3）双线性变换法
双线性变换法也称梯形法或Tustin法，是基于梯形面积 近似积分的方法。根据这个方法有
kT u(t)dt 1 {u(kT) u[(k 1)T ]}T
(k 1)T
2
kT e(t)dt 1 {e(kT) e[(k 1)T ]}T
(k 1)T
2
29
差分方程
U (z) z1U (z) aT [U (z) z1U (z)] T [E(z) z1E(z)]
2
2
离散后的控制器脉冲传递函数
D(z) U (z) E(z)
1 2 z1a
T z1
2 z 1 2 1 z1
令
s T z 1 T 1 z1
(4.3)
30
则D(z)与模拟调节器GC(s)具有相同的形式。 ——可认为从s平面到z平面的映射函数为
第4章 计算机控制系统的 控制算法
1
4.0 概 述
典型的计算机控制系统如图所示。
计算机控制系统
系统输入r(t)与系统输出y(t)比较后形成偏差e(t)，e(t)经 采样保持器及模/数转换器转换成数字量e(kT)，输入计算机，
由计算机实现数字控制器的运算规律，得到离散的控制量
u(kT)，再经数/模转换及保持器转换为连续控制量u(t)，作 用到连续的被控对象上，以控制被控对象的输出y(t)。
7
主要方法： 依据性能指标要求，可以基本确定闭环传递函数。 有了开环传递函数G(s) 有了闭环传递函数GB(s) 或叫做 Φ(s)
(s) D(s)G(s) 1 D(s)G(s)
设计过程就是寻找D(s)，使得在该调节器（控制器）的作用下， 闭环系统的性能满足我们的要求。
用该方法设计的是模拟调节器，要用计算机实现，需要进 行离散化处理。
TD
de(t ) ] dt
36
式中 u(t)——是控制器的输出； e(t)——是系统给定量与输出量的偏差； Kp——是比例系数； TI——是积分时间常数； TD——是微分时间常数。
PID 控制也可以表达为：
u(t)
K P e(t )
KI
t
0
e(t)dt
KD
de(t) dt
KI——积分系数 KI=KP/TI
2
设计计算机控制系统，主要是设计数字控制器，使图所示的闭 环控制系统既要满足系统的期望指标，又要满足实时控制的要 求。 注：现在的计算机控制系统：一般给定信号是数字信号
输出信号经传感器测量，变换后转换成数字信号，由计算机进 行比较产生数字e(kt)，经计算机的控制算法运算处理输出控制 信号u(kt)。u(kt)转换成模拟信号进行控制。
0
0
14
于是，可以得到
kT
kT
u[kT] u[k 1)T ] a u(t)dt e(t)dt
(k 1)T
(k 1)T
当T很小时，上式中的积分项
kT
u(t)dt
(k 1)T
用矩形面积u(kT) T , 或u（( k 1）T ) T 或梯形面积{u(kT) u[(k 1)T ]}T / 2
当T很小时，上式中的积分项
U((k-1)T)
U((kT) U((k-1)T) U(kT)
T
T
T
15
当T很小时，积分项
kT
u(t)dt
(k 1)T
的u(t)变化很小，可以用下列三种方法之一近似
（1）u(k-1)值构成的矩形面积 ——前向差分
（2） u(k)值构成的矩形面积
——后向差分
（3）u(k-1)，u(k)构成的梯形面积——双线性变换
23
（2） 后向差分法
后向差分法也是一种数值积分，即用kT时刻的值所形成的 矩形面积近似积分项。后向差分法将s平面的稳定区域映射为z 平面的一个以σ=1/2，ω=0为圆心，1/2为半径的圆。
kT
kT
u(kT) u[(k 1)T ] a u(t)dt e(t)dt
(k 1)T
(k 1)T
经后项差分可写成
13
对于采样时刻t=kt的u(t)值，用采样时刻t=kt带入
kT
0
du(t) dt
dt
kT
a u(t)dt
0
kT
e(t)dt
0
即
kT
kT
u(kT) u(0) a u(t)dt e(t)dt
同样可以得到
0
0
(k 1)T
(k 1)T
u[k 1)T ] u(0) a u(t)dt e(t)dt
2 2 j
Re( ) Re(
) Re(
z
j
2 2
)
Re(s) 0 ( 2 2 ) 0
2 （1）2－（1）2 2
2
2
26
它就是
园方程
( 1)2 2 （1）2
2
2
经过4.9映射，S平面的稳定区域，被映射到Z平面的情况是： 它映射到圆心在σ=1/2，ω=0，半径为 ½的园。 即：
10
（3） 模拟控制器的离散化描述
按模拟方法设计的调节器，要用计算机来实现，需要对它 进行离散化处理，转变成能够用计算机程序来实现的方式。
差分方程是计算机容易实现的方式 。 对应于差分方程——传递函数Gc（S）就变为脉冲传递函 数D（Z）。
下面就讨论离散化方法
11
4.1.3 将模拟控制器转换为数字控制器的方法
表4-1给出了采样周期选择的一组数据
9
表4-1 一部分控制系统选择采样周期的经验数据
被控制量 采样周期（S）
备注
流量
1~5
优选1S
压力
3~10
优选5S
液位
6~8
优选7S
温度
15~20
优选纯滞后时间
成分
15~20
优选18S
伺服电动机运动控制等没有给出。（5mS~20mS） 其它控制依据使用要求。被控物理量的特征，按上述原则选。
3
当然，按前面的假设，r(t)是模拟信号； e(t)=t(t)-y(t)也是模拟信号； 采样保持器、A/D转换是对e(t)进行的，也是可以的，不影响对 系统进行分析。
4
4.1 数字控制器的间接设计方法
数字控制器的间接设计法是先根据给定的性能指标及 各项参数，应用连续系统理论的设计方法设计模拟控制器， 再按照本节介绍的离散化方法将模拟控制器离散化为数字控 制器。