函数的凸性曲线的曲率

第7章 函数的凸性·曲线的曲率

①凸函数 函数的“凸性”概念最初来自曲线的弯曲方向。 例如，曲线3

x y =(图1)在Oy 轴左边是向下弯曲的(称为上凸)

而在Oy 轴右边是向上弯曲的(称为下凸)。虽然说“弯曲方向” 或“凸性”这些名称是几何上的术语，但经过抽象后的凸函数 理论在其它数学分支中也是很有用的。

从图2中看出，向上弯曲(下凸)的曲线上任何两点的连线(AB 的中点C 在弧AB 的上方；而从图3中看出，向下弯曲(上凸)的曲线上任何两点的连线(弦)AB 的中点C 在弧AB 的下方。

【注1】在国内早期的一些教科书(包括翻译前苏联的一些教科书)中，都把下凸函数称为“凹函数”，而把上凸函数称为“凸函数”。这里的称呼与新近一些教科书或论文中的称呼是一致的。请读者注意到这些区别。

【注2】还请读者注意，通常说“函数()f x 在区间(,)a b 内是下(上)凸函数”，若对于(,)a b 内任意两点1x 和2x 12()x x ≠与任意(0,1)t ∈，都满足琴生(Jesen)不等式

[]1212()

(1)()(1)()f t x t x t f x t f x >+-<+-

它等价于不等式

()

11221122()()()f t x t x t f x t f x >+<+

（其中1t 和2t 为正数且121t t +=）

显然，不等式(※)是琴生不等式的特殊情形。不过，对于连续函数来说，不等式(※)与琴生不等式是等价的。因此，我们就用简单的不等式(※)定义函数的凸性。关于连续函数情形下两者等价性的证明，有兴趣的读者可去看本网站上的专题选讲。

【注3】若函数

)(x f 在区间),(b a 内可微分，则从下图4看出，下凸(上凸)函数的图形上，每一点处

图2

O x 1 (x 1+x 2 )/2 x 2

图3

112

的切线都在图形的下面(上面)，而且导函数)(x f '(切线的斜率)是增大(减小)的。我们也可以证明这个结论

(见专题选讲)。

定理 设函数)(x f 在区间),(b a 内有导数。若导数)(x f '在),(b a 内是增大(减小)的，则函数)(x f 在区间),(b a 内是下凸(上凸)的。(逆命题也成立。专题选讲中有证明)。

假若函数)(x f 在区间(,)a b 内有二阶导数，那么根据上述定理和判别函数单调性的方法，就有下面判别函数凸性的方法。

判别法 设函数)(x f 在区间),(b a 内有二阶导数)(x f ''

⑴若()0()f x a x b ''><<，则)(x f 在区间),(b a 内是下凸函数[因为导数)(x f '是增函数]；

⑵若()0()f x a x b ''<<<，则)(x f 在区间),(b a 内是上凸函数[因为导数)(x f '是减函数]。

②拐点(变曲点)

函数图形可能在这一段上是上凸的，而在相邻的另一段上又是下凸的(如图1中原点的两边)。这样两段弧的连接点，就称为函数图形(曲线)的拐点(曲线拐弯的点)或变曲点(曲线改变弯曲方向的点)。同时，也把函数图形拐点的横坐标称为这个函数的拐点或变曲点。请读者注意到函数的拐点与函数图形(曲线)的拐点之间的区别!

若点0(,)x a b ∈是函数()f x 的拐点且有二阶导数0''()f x ，则00''=()f x

这是因为，例如函数)(x f 在点0x 的左边近旁下凸时，由于00()()()f x f x x x ''<<(见注3)，所以

0)

()(lim )(0

000≥-'-'=''-

→x x x f x f x f x x (极限运算单调性)

且函数)(x f 在点0x 的右边上凸时，由于)()()(00x x x f x f <'>'，所以

0)

()(lim )(0

000≤-'-'=''+→x x x f x f x f x x (极限运算单调性)

因此0()0f x ''=. 同理，若函数)(x f 在点0x 的左边上凸且在点0x 的右边下凸时，也有

0)(0=''x f . 但是要注意，仅有．．0)(0=''x f 时．，点．0x 不一定是函数．．．．．．)(x f 的拐点．．．

。例如函数4()f x x =，尽管有(0)0f ''=，但0不是函数4()f x x =的拐点，

因为

2()120(||0)f x x x ''=>>

即函数4()f x x =在原点0的两边都是下凸的(图5)。

图4

① 下凸

切线

② 上凸

切线

图5

4x

特别，假若函数()f x 在区间00(,)x x δδ-+内有二阶导数,且()f x ''在点0x 的两边有相反的符号,则0x 就是函数()f x 的拐点。此时，当然有0)(0=''x f

③勾画函数图形的方法

在中学数学中，画函数图形用的是描点法。它的缺点是不能从整体上把握函数变化的状态。微积分中讲的绘图方法称为解析法，而它的优点正好弥补了描点法的缺陷。我们利用导数的有关信息所画出的略图，使我们能够看出函数的变化状态。例如在哪个区间内，它是增大的或减小的，是下凸的或上凸的；又在哪个点上取到极大值或极小值。因此，把描点法和解析法结合起来就是最好的绘图方法。

④函数图形的渐近线 不管是描点法，还是解析法，都只能画出函数图形的有限部分。对于那些能够伸向无穷远处的函数图形，当函数图形伸向无穷远时，它有可能无限接近某一直

线(称它为渐近线)。例如，函数x y arctan =的图形

有两条渐近线2

y =±π(图6)。因为它们与Ox 轴平

行，所以称它们为水平渐近线。求水平渐近线的方 法很简单。若存在有穷极限

b x f x =+∞

→)(lim 或b x f x =-∞

→)(lim

则曲线)(x f y =就有水平渐近线b y =

函数图形也可能有垂直渐近线。例如函数x y tan =的图形(图7)有两条垂直渐近线

2

x =±π.求垂直渐近线的方法也很简单。若函数)(x f y =有无穷间断点a ，即

∞=-

→)(lim x f a x (左极限) 或 ∞=+→)(lim x f a

x (右极限)

则曲线)(x f y =就有垂直渐近线a x =.可见，当函数有无穷间断点时，它才有垂直渐近线。

函数图形还可能有斜渐近线b kx y +=)0(≠k 。如图8，设曲线)(x f y =上点(,)P x y 到直线b kx y +=的距离为d . 在直角三角形PAN 中，

()()f x kx b PA

-+==sec d θ=

图7