抛物线及其标准方程教案

2.4.1 抛物线及其标准方程

一、三维目标 （一）知识与技能

（1）掌握抛物线的定义、几何图形（2）会推导抛物线的标准方程（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程 （二）过程与方法

通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想。 （三）情感态度与价值观

进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。 二、教学重点

抛物线的定义及标准方程 三、教学难点

抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择） 四、教学过程

1.课题引入

在初中，我们学习了二次函数2

y ax bx c =++，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1）2

4y x =，（2）2

4y x =-的图象（展示两个函数图象）：

师：……那么，如果问你怎么样的曲线是抛物线，你可以回答我吗？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容。 （板书课题：2.4.1 抛物线及其标准方程）

2.抛物线的定义

实例引入：用折纸法画抛物线

我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

师：对于“直线l 经过点F ”的情况，我们留到习题课再讨论。

3.抛物线的标准方程

从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点M 满足到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等。那么动点M 的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？

要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系。

探讨建立平面直角坐标系的方案（演示学生最可能想到的三种建系方案）

按照方案三的建系方式推导抛物线方程……直接演示方案一和二对应的方程，由学生观

2.若出现比较复杂建系方案，可以以引入的字母参数较多为由，先排除计算

3.强调P 的意义。

4.教师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解(),x y 为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程

（选择标准方程）

师：我们把方程2

2(0)y px p =>叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是

,02p ⎛⎫

⎪⎝⎭

，准线方程是2p x =-。（演示） 师：上面我们主要研究了抛物线开口向右的情况，那么如果它的开口方向是向左、向上或者

向下，其对应的方程又如何了呢？

（学生完成第二行，教师巡视个别辅导。类比椭圆第二种标准方程的推导完成第三和第四行。）

对表格的说明：统观四种情况（学生记忆） （1）(0)p p >表示焦点F 到准线l 的距离；

（2）抛物线标准方程，左边为二次，右边为一次。若一次项是x ，则对称轴为x 轴，焦点

在x 轴上；若一次项是y ，则对称轴为y 轴，焦点在y 轴上；（对称轴看一次项） （3）标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向坐标轴正方向；若一次项前面的

系数为负数，则开口方向为坐标轴负方向；（符号决定开口方向） 4.例题讲解

例1（1）已知抛物线的标准方程是2

6y x =，求它的焦点坐标和准线方程 （2）已知抛物线的焦点是()0,2F -，求它的标准方程。

分析（1）先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，画草图，再求出p 的值得到焦点坐标和准线方程。

（2）先判定出焦点在y 轴上，从而得到一次项为y ，再求出p 的值进而写出方程。

解：（1）因为3p =，所以抛物线的焦点坐标为3,02⎛⎫

⎪⎝⎭

，准线方程为32x =-

（2）因为抛物线的焦点在y 轴上，所以抛物线方程为2

8x y =-。

随堂练习1P

67练习1

1 根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点是()30F ， （2）准线方程是1

4

x =-

（3）焦点到准线的距离是2 随堂练习2P 67练习2

5.课堂小结

让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容：

1、抛物线的定义

2、抛物线的标准方程有四种不同的形式

3、p的几何意义是: 焦点到准线的距离

4、标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．6.作业布置

（1）必做题P73 A组1，2，3

（2）选做题P74 B组1