高中数学 1.2第8课时 分段函数及映射课件 新人教A版必修1

3．函数与映射的区别 区别一：映射中集合A，B可以是任意非空集合，而函数中集 合A，B为非空数集． 区别二：集合A到集合B的映射中，对于集合B中的任意一个 元素，在集合A中不一定有元素与之对应，而在函数中对于值域 中的一个确定的值，在定义域中都有确定的值与之对应.
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3 新课堂·互动探究 考点一 分段函数的求值问题
第8课时 分段函数及映射
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1．掌握简单的分段函数，并能简单应用．(重点) 2．了解映射概念及它与函数的联系．(难点、易混点)
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1 新知识·预习探究 知识点一 分段函数
阅读教材P21例5～P22第二自然段，完成下列问题． 在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 对应关系，则称这样的函数为分段函数．
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点评：作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情 况决定着图象在分界点(关键点)处的断开或连接，断开时要分清 断开点处孰虚孰实．
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变式探究2 根据函数f(x)的图象写出它的解析式．
解析：当0≤x≤1时，f(x)＝2x， 当1＜x＜2时，f(x)＝2， 当x≥2时，f(x)＝3，
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2．对映射概念的三点说明 (1)非空集合：映射包括非空集合A，B以及对应关系f，其中 集合A，B可以是数集，可以是点集，也可以是其他任意非空的集 合．
(2)顺序性：集合A，B是有先后顺序的，即集合A到B的映射 与B到A的映射是不同的．
(3)唯一性：集合A中每一个元素在集合B中必有唯一的元素和 它对应，但允许集合B中的元素在A中无元素与之对应．
答案：B
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知识点二 映射 阅读教材P22第三自然段至P23“思考”，完成下列问题．
【思考】 映射与函数是什么关系？ 【提示】 函数是特殊的映射，其是建立在两个非空数集上 的对应关系，而映射不一定是函数．
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【练习2】 已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0,1}，下列对应 不是A到B的映射的是( )
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点评：(1)求分段函数函数值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知函数值求字母取值的步骤 ①先对字母的取值范围分类讨论． ②然后代入到不同的解析式中． ③通过解方程求出字母的值． ④检验所求的值是否在所讨论的区间内．
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【练习1】 下列给出的式子是分段函数的是( )
①f(x)＝2xx2＋，1x，＜11≤. x≤5，
②f(x)＝xx2＋，1x，≥x2∈. R，
③f(x)＝x22x，＋x3≤，11.≤x≤5，
④f(x)＝xx－2＋13，，xx≥＜50. ，
A．①②
B．①④
C．②④
D．③④
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解析：对于②当x≥2时，f(x)有两种不同的对应关系，不符合 函数的定义，故②不是分段函数，同理③也不是分段函数．①④ 满足分段函数的形式．故①④是分段函数．
考点二 分段函数的图象及应用 例2 已知f(x)＝x12，，x－＞11≤或xx≤＜1－，1， (1)画出f(x)的图象； (2)求f(x)的定义域和值域．
分析：画出图像．直接从图像上观察得出定义域和值域．
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解析：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R. 由图象知，当－1≤x≤1时， f(x)＝x2的值域为[0,1]， 当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1， 所以f(x)的值域为[0,1]．
2x ∴f(x)＝2
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0≤x≤1， 1＜x＜2， x≥2.
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考点三 映射的概念 例3 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射： (1)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f “作 圆的内接矩形”； (2)A＝{高一·一班的男生}，B＝{男生的身高}，对应关系f： 每个男生对应自己的身高；
(3)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系f：x→y＝12x.
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分析：按照映射的概念加以判断
解析：(1)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一
个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
(2)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一一
个元素与之对应，符合映射定义，是映射．
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变式探究1Baidu Nhomakorabea
2014·宁夏高一检测 已知函数f(x)＝
3x＋2，x＜1， x2＋ax，x≥1，
若f[f(0)]＝4a，则实数a＝__________.
解析：由题意可知，f(0)＝2，f(2)＝4＋2a. 又f[f(0)]＝f(2)＝4＋2a＝4a， 所以a＝2. 答案：2
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(3)是映射，因为A中每一个元素在f：x→y＝
1 2
x作用下对应的
元素构成的集合C＝{y|0≤y≤1}⊆B，符合映射定义．
(2)按x≤1及x＞1分段讨论求解x的值．
解析：(1)由题意f(3)＝23，
f23＝232＋1＝193， (2)若x≤1，
所以f(f(3))＝f23＝193.
由x＋1＝－3得x＝－4.
若x＞1，由1－x2＝－3得x2＝4，
解得x＝2，x＝－2(舍去)．
综上可得所求x的值为－4或2. 答案：(1)D (2)－4或2
A
B
C
D
解析：C选项中元素a有两个元素0和1与之对应，不符合映射
的概念，故选C. 答案：C
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2 新视点·名师博客 1.对分段函数的三点说明 (1)分段函数是一个函数，只不过是在定义域的不同子区间上 的函数解析式不同而已． (2)分段函数的定义域是各段自变量取值的并集，值域是各段 因变量取值的并集． (3)分段函数的图象应分段来作，应特别注意各段图象端点是 用实心点还是空心点表示．
x2＋1，x≤1，
例1 (1)设函数f(x)＝2x，x＞1，
则f(f(3))＝( )
1 A. 5
2 C. 3
B．3 13
D. 9
(2)(2014·常州高一检测)已知函数f(x)＝
x＋1，x≤1， 1－x2，x＞1，
＝－3，则x＝__________.
若f(x)
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分析：(1)先求f(3)，再求f(f(3))．