数学分析期末复习题

13数学分析(三)复习范围

一、计算题(每小题10分，共70分) 1. 全微分计算题

2. 求隐函数(组)的一阶偏导数

3. 求抽象函数的二阶偏导数

4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程

5. 求函数的极值

6. 计算第一型曲面积分

7. 计算第二型曲面积分

8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 9. 二重积分的计算

10. 高斯公式与斯托克斯公式 11. 求多元函数的方向导数 12. 曲线积分与路径无关问题

13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示

14. 应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分)

15. 利用余元公式B(p,1-p)=ππ

p sin ，计算⎰+∞+01n x dx 类积分值

二、解答与证明题(第小题10分，共30分)

1. 用定义证明多元函数的极限

2. 证明多元函数的连续性

3. 研究含参量积分的一致收敛性

4. 证明含参量非正常积分的连续性

5. 三重积分的证明题

6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题

7. 证明二重极限不存在

8. 多元函数的可微性证明

例题

一、计算题

1. 全微分计算题

公式：du=u x ∂∂dx+u y ∂∂dy+u

z

∂∂dz 。

例1：求函数u=22

22

z x x y -+的全微分；

例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。 2. 求隐函数(组)的偏导数

例3：设z

y e z x +=，求y

x z ∂∂∂2。

例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e -(x+y+z)，求dx dy ，dx

dz

。 3. 求抽象函数的二阶偏导数

例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求z x u

∂∂∂2，22u y ∂∂其中f 具有二阶连续的偏导数；

例6：设u=f(x 2

-y 2

，xy

e )，求y

x u

∂∂∂2，其中f 具有二阶连续偏导数。

4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线

例7：求曲线：x 2+y 2+z 2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。

例8：求曲线⎪⎩

⎪⎨⎧=-+-=-++045320

3222z y x x z y x 在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。

例9：求曲面x 2+2y 2+3z 2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。 5. 求函数的极值或条件极值

例10：求f(x,y)=e 2x (x+2y+2y 2)的极值。

例11：求抛物线y=x 2和直线x-y-2=0之间的最短距离。

6. 计算第一型曲面积分

例12：计算⎰⎰++S

dS zx yz xy )(，其中S 为锥面22y x z +=被曲面x 2+y 2=2ax 所截得的部分。

例13：计算：xyzdS ∑

⎰⎰，∑是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。

7. 计算第二型曲面积分

例14：求I=⎰⎰-++S

dxdy yz x dydz xy z )()2(22，其中S 是圆柱面x 2+y 2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外侧。

例15：计算⎰⎰∑

+-yzdxdy dzdx y xzdydz 24，其中∑是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所围成的立方体的全表

面的外侧。

8. 计算第二型曲线积分(格林公式)

例16：计算曲线积分[][]

⎰

-'+-AmB

x x

dy m e y dx my e

y )()(ϕϕ，

其中ϕ(y)和ϕ/

(y)为连续函数，AmB 为连接点A(x 1,y 1)和点B(x 2,y 2)的任何路径，但与线段AB 围成的区域AmBA 的面积为已知常数S 。

例17：求曲线积分⎰---C

x x dy y y e dx y e )sin ()cos 1(，其中C 为0

9. 二重积分的计算

例18：计算：⎰⎰D

xydxdy ，其中D 由x 2+y 2≥1，x-y+1≥0，0≤x ≤1围成。

例19：计算I=⎰⎰

D

dxdy y x 2

2

，其中D 由x=2，y=x ，xy=1所围成。 10. 高斯公式与斯托克斯公式

例20：计算I=⎰-+-+-L

dz y x dy x z dx z y )3()2()(222222，其中L 是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z

轴正向看去，L 为逆时针方向。

例21：计算⎰⎰∑

+-++-+++dxdy y x dzdx x z dydz z y x )1()1()(2222222，其中∑是三个坐标平面和平面x+2y+z=1组

成的按片光滑曲面，取外侧。 11. 求多元函数的方向导数

例22：求函数z=ln(x+y)在位于抛物线y 2=4x 上一点(1,2)处沿这抛物线切线上的方向导数。

例23：在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。 12. 曲线积分与路径无关问题

例24：确定λ的值，使曲线积分I=⎰-++-l

dy y y x dx xy x )56()4(4214λλ与路径无关，并计算自点A(1,2)到点B(0,0)

的I 值。

例25：定常数a ，使得任何不经过y=0的区域上曲线积分⎰

+-+C

a a

dy y x y

x dx y x y x )()(222222与路径无关，并求 ⎰

+-+=)

,()

1,1(222222)()(),(y x a a

dy y x y

x dx y x y x y x u 。 13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示 例26：将三次积分I=⎰

⎰

⎰+---++)

(30

2221

222

2

)(y x y y y

y dz z y x f dx dy 分别表示为柱坐标及球坐标的形式。

例27：设Ω是由x 2

+y 2

=2z ，z=1，z=2所围成的介于z=1及z=2之间的闭区域，f 是Ω上连续。利用柱面坐标将三重积分I=⎰⎰⎰Ω

dxdydz z y x f ),,(化为三次积分。

14. 应用：求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分)

例28：有一铁丝成半圆形x=acost ，y=asint ，0≤t ≤π，其上每一点密度等于该点的纵坐标，求铁丝的质量。 例29：⎰L

zds ，其中L 为圆锥螺线x=tcost ，y=tsint ，z=t ，t ∈[0,t 0]；

例30：求球面x 2+y 2+z 2=a 2为平面z=4a ，z=2

a

所夹部分的曲面面积S 。 15. 利用余元公式B(p,1-p)=

π

π

p sin ，计算⎰

+∞+0

1n

x dx

类积分值 例31：利用余元公式B(p,1-p)=π

πp sin 计算积分⎰+∞+041x dx

。 例32：利用余元公式B(p,1-p)=

π

πp sin 计算积分⎰

+∞

+0

6

1x dx

。